(*) Mostre que se
, então
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que, para funções
e (suficientemente diferenciáveis) e definindo , vale a fórmula
- Usar esse resultado para derivar a função
Informações dadas / condições que usarei:
-
e são diferenciáveis onde for necessário. - Para usar
no processo de prova, vou assumir no ponto (ou intervalo) considerado, já que o logaritmo natural exige argumento positivo quando tratamos valores reais.
Passo 2
Estratégia (apenas explicando a ideia que será seguida): para provar a fórmula é muito conveniente usar diferenciação logarítmica. A ideia concreta é:
- Tomar
de ambos os lados da definição . - Diferenciar a igualdade
. - Aplicar regra da cadeia e regra do produto; resolver para
.
Agora vou fazer isso passo a passo, sem pular etapas.
Passo 3
Começo tomando logaritmo natural de
. Como
e supondo
:
Usando a identidade
(válida para
), obtemos
Passo 4
Agora diferencio ambos os lados em relação a
. Antes de fazer isso, lembro duas regras que vou usar:
- Regra da cadeia (forma usada aqui): se
é diferenciável e , então . - Regra do produto:
.
Aplicando a diferenciação em
:
- No lado esquerdo, por regra da cadeia,
- No lado direito, por regra do produto,
E por regra da cadeia novamente,
Juntando, obtemos a igualdade
Passo 5
Multiplico ambos os lados por
para isolar
. Lembrando que
, chego a
e substituindo
obtemos exatamente
Isso conclui a demonstração da fórmula pedida (sob a hipótese
).
Passo 6
Pequena explicação pedagógica das regras usadas (para você poder aplicar na prova sem erro):
- Regra da cadeia: se
com diferenciável em e diferenciável em , então
Exemplo simples: para
, tem-se
,
, logo
.
- Derivada do logaritmo: é um caso da regra da cadeia com
: . - Regra do produto: para produto
, a derivada é . Exemplo: .
Essas são exatamente as ferramentas que usamos na prova; memorize a sequência: aplicar
, diferenciar (cadeia + produto), isolar
.
Passo 7
Agora aplico o resultado à função dada
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, ou seja
Vou calcular cada parcela separadamente usando a fórmula geral.
Passo 8
Derivada de
.
Identifico, para a primeira parcela,
e
(constante). Calculos:
-
. -
porque é constante.
Aplicando a fórmula
obtenho para
:
Simplificando:
Observação: isso corresponde à regra conhecida
quando
é constante; aqui
.
Passo 9
Derivada de
.
Agora, para a segunda parcela,
(constante) e
. Calculos:
-
porque é constante. -
.
Aplicando a fórmula:
Isto coincide com a regra conhecida
para
.
Passo 10
Juntando as duas derivadas (a soma das derivadas das parcelas), obtemos a derivada buscada. (Abaixo, a resposta final está colocada apenas na seção "