(*) Mostre que se f(x)=g(x)^{h(x)}, então
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)} \cdot\left[h^{\prime}(x) \cdot \ln g(x)+\frac{h(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right]
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
f(x)=x^{\pi}+\pi^{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que, para funções g(x) e h(x) (suficientemente diferenciáveis) e definindo f(x)=g(x)^{h(x)}, vale a fórmula
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)} \cdot\left[h^{\prime}(x) \cdot \ln g(x)+\frac{h(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
  • Usar esse resultado para derivar a função
f(x)=x^{\pi}+\pi^{x}.
Informações dadas / condições que usarei:
  • g(x) e h(x) são diferenciáveis onde for necessário.
  • Para usar \ln g(x) no processo de prova, vou assumir g(x)>0 no ponto (ou intervalo) considerado, já que o logaritmo natural exige argumento positivo quando tratamos valores reais.

Passo 2

Estratégia (apenas explicando a ideia que será seguida): para provar a fórmula é muito conveniente usar diferenciação logarítmica. A ideia concreta é:
  • Tomar \ln de ambos os lados da definição f(x)=g(x)^{h(x)}.
  • Diferenciar a igualdade \ln f(x)=h(x)\ln g(x).
  • Aplicar regra da cadeia e regra do produto; resolver para f'(x).
    Agora vou fazer isso passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Começo tomando logaritmo natural de f(x). Como f(x)=g(x)^{h(x)} e supondo g(x)>0:
\ln f(x) = \ln\big(g(x)^{h(x)}\big).
Usando a identidade \ln(a^b)=b\ln a (válida para a>0), obtemos
\ln f(x) = h(x)\,\ln g(x).

Passo 4

Agora diferencio ambos os lados em relação a x. Antes de fazer isso, lembro duas regras que vou usar:
  • Regra da cadeia (forma usada aqui): se u(x) é diferenciável e F(u)=\ln(u), então \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aplicando a diferenciação em \ln f(x)=h(x)\ln g(x):
  • No lado esquerdo, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
  • No lado direito, por regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(h(x)\ln g(x)\big)=h'(x)\ln g(x)+h(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big).
E por regra da cadeia novamente,
\frac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Juntando, obtemos a igualdade
\frac{f'(x)}{f(x)}=h'(x)\ln g(x)+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 5

Multiplico ambos os lados por f(x) para isolar f'(x). Lembrando que f(x)=g(x)^{h(x)}, chego a
f'(x)=f(x)\left[h'(x)\ln g(x)+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right]
e substituindo f(x)=g(x)^{h(x)} obtemos exatamente
f'(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h'(x)\ln g(x)+\frac{h(x)g'(x)}{g(x)}\right].
Isso conclui a demonstração da fórmula pedida (sob a hipótese g(x)>0).

Passo 6

Pequena explicação pedagógica das regras usadas (para você poder aplicar na prova sem erro):
  • Regra da cadeia: se y=F(u(x)) com F diferenciável em u e u diferenciável em x, então
\frac{dy}{dx}=F'(u(x))\cdot u'(x).
Exemplo simples: para y=\sin(x^2), tem-se F(t)=\sin t, u(x)=x^2, logo y'=\cos(x^2)\cdot 2x.
  • Derivada do logaritmo: é um caso da regra da cadeia com F(u)=\ln u: (\ln u(x))'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Regra do produto: para produto u(x)v(x), a derivada é u'v+uv'. Exemplo: (x\cdot \ln x)'=1\cdot\ln x + x\cdot(1/x)=\ln x +1.
Essas são exatamente as ferramentas que usamos na prova; memorize a sequência: aplicar \ln, diferenciar (cadeia + produto), isolar f'.

Passo 7

Agora aplico o resultado à função dada
f(x)=x^{\pi}+\pi^{x}.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, ou seja
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{\pi}\big)+\frac{d}{dx}\big(\pi^{x}\big).
Vou calcular cada parcela separadamente usando a fórmula geral.

Passo 8

Derivada de x^{\pi}.
Identifico, para a primeira parcela, g(x)=x e h(x)=\pi (constante). Calculos:
  • g'(x)=1.
  • h'(x)=0 porque \pi é constante.
    Aplicando a fórmula
\frac{d}{dx}\big(g(x)^{h(x)}\big)=g(x)^{h(x)}\left[h'(x)\ln g(x)+\frac{h(x)g'(x)}{g(x)}\right],
obtenho para x^{\pi}:
\frac{d}{dx}\big(x^{\pi}\big)=x^{\pi}\left[0\cdot\ln x + \frac{\pi\cdot 1}{x}\right] = x^{\pi}\cdot\frac{\pi}{x}.
Simplificando:
\frac{d}{dx}\big(x^{\pi}\big)=\pi\,x^{\pi-1}.
Observação: isso corresponde à regra conhecida \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1} quando a é constante; aqui a=\pi.

Passo 9

Derivada de \pi^{x}.
Agora, para a segunda parcela, g(x)=\pi (constante) e h(x)=x. Calculos:
  • g'(x)=0 porque \pi é constante.
  • h'(x)=1.
    Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\big(\pi^{x}\big)=\pi^{x}\left[1\cdot\ln \pi + \frac{x\cdot 0}{\pi}\right] = \pi^{x}\ln \pi.
Isto coincide com a regra conhecida \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a para a>0.

Passo 10

Juntando as duas derivadas (a soma das derivadas das parcelas), obtemos a derivada buscada. (Abaixo, a resposta final está colocada apenas na seção "

Resposta

\pi\,x^{\pi-1} + \pi^{x}\ln \pi

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