(*) Mostre que se
, então
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
. As tarefas são:
- Mostrar que
- Usar esse resultado para derivar
.
Informações e hipóteses relevantes que usarei (fornecidas ou necessárias):
- Presumo que
e sejam diferenciáveis onde se quer calcular a derivada. - Para poder usar
é necessário que no domínio considerado; irei mencionar isso quando necessário.
Passo 2
Estratégia inicial (agora sim vou começar a resolver): aplicar logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência com expoente variável — técnica conhecida como diferenciação logarítmica. Tomando logaritmo de
obtemos a igualdade seguinte, escrita de forma clara:
Passo 3
Usar a propriedade dos logaritmos
para simplificar o lado direito:
Passo 4
Diferenciar ambos os lados em relação a
. Antes de fazer a conta, lembro as regras que vou usar:
- Regra da cadeia para
: . Explicando: derivada do logaritmo natural de uma função é . - Regra do produto para o lado direito:
. - E novamente a regra da cadeia para
: .
Aplicando essas regras, diferencia-se:
Passo 5
Isolar
multiplicando ambos os lados por
. Como
, obtemos:
Substituindo
de volta:
que é exatamente a fórmula pedida. Observação de domínio: a etapa com
exigiu
.
Passo 6
Agora aplicar o resultado à função específica
. Identificamos:
Calcular as derivadas necessárias:
Passo 7
Substituir esses valores na fórmula geral:
Simplificando o colchete:
Passo 8
Breve explicação final e dica para a prova: a técnica usada foi a diferenciação logarítmica — muito útil quando a variável aparece na base e no expoente. As etapas essenciais são: (i) tomar
de ambos os lados, (ii) diferenciar usando regra da cadeia e produto, (iii) isolar
. Pratique com outras funções do tipo
para fixar.