(*) Mostre que se f(x)=g(x)^{h(x)}, então
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)} \cdot\left[h^{\prime}(x) \cdot \ln g(x)+\frac{h(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right]
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
f(x)=(1+x)^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por f(x)=g(x)^{h(x)}. As tarefas são:
  • Mostrar que
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
  • Usar esse resultado para derivar f(x)=(1+x)^{x}.
Informações e hipóteses relevantes que usarei (fornecidas ou necessárias):
  • Presumo que g e h sejam diferenciáveis onde se quer calcular a derivada.
  • Para poder usar \ln g(x) é necessário que g(x)>0 no domínio considerado; irei mencionar isso quando necessário.

Passo 2

Estratégia inicial (agora sim vou começar a resolver): aplicar logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência com expoente variável — técnica conhecida como diferenciação logarítmica. Tomando logaritmo de f(x)=g(x)^{h(x)} obtemos a igualdade seguinte, escrita de forma clara:
\ln f(x)=\ln\bigl(g(x)^{h(x)}\bigr).

Passo 3

Usar a propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln a para simplificar o lado direito:
\ln f(x)=h(x)\cdot\ln g(x).

Passo 4

Diferenciar ambos os lados em relação a x. Antes de fazer a conta, lembro as regras que vou usar:
  • Regra da cadeia para \ln f(x): \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln f(x)\bigr)=\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}. Explicando: derivada do logaritmo natural de uma função u(x) é u'(x)/u(x).
  • Regra do produto para o lado direito: \dfrac{d}{dx}\bigl(h(x)\ln g(x)\bigr)=h'(x)\ln g(x)+h(x)\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(\ln g(x)\bigr).
  • E novamente a regra da cadeia para \ln g(x): \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln g(x)\bigr)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}.
Aplicando essas regras, diferencia-se:
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+h(x)\cdot\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}.

Passo 5

Isolar f^{\prime}(x) multiplicando ambos os lados por f(x). Como f(x)=g(x)^{h(x)}, obtemos:
f^{\prime}(x)=f(x)\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+h(x)\cdot\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
Substituindo f(x)=g(x)^{h(x)} de volta:
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right],
que é exatamente a fórmula pedida. Observação de domínio: a etapa com \ln g(x) exigiu g(x)>0.

Passo 6

Agora aplicar o resultado à função específica f(x)=(1+x)^{x}. Identificamos:
g(x)=1+x,\qquad h(x)=x.
Calcular as derivadas necessárias:
g^{\prime}(x)=1,\qquad h^{\prime}(x)=1.

Passo 7

Substituir esses valores na fórmula geral:
f^{\prime}(x)=(1+x)^{x}\cdot\left[1\cdot\ln(1+x)+\frac{x\cdot 1}{1+x}\right].
Simplificando o colchete:
f^{\prime}(x)=(1+x)^{x}\cdot\left[\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right].

Passo 8

Breve explicação final e dica para a prova: a técnica usada foi a diferenciação logarítmica — muito útil quando a variável aparece na base e no expoente. As etapas essenciais são: (i) tomar \ln de ambos os lados, (ii) diferenciar usando regra da cadeia e produto, (iii) isolar f'(x). Pratique com outras funções do tipo u(x)^{v(x)} para fixar.

Resposta

f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right]
\text{Para }f(x)=(1+x)^{x}:\qquad f^{\prime}(x)=(1+x)^{x}\cdot\left[\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right]

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