Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da funçaõ
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A função
definida por . - Um ponto do gráfico onde passa a reta tangente:
(confirmação: ).
O que o problema pede: - Encontrar uma equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Passo 2
O que precisamos fazer para achar a reta tangente num ponto:
- A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é , a derivada de avaliada em . - Depois usamos a forma ponto-inclinação da reta:
Então o objetivo imediato é calcular
e, em seguida, avaliar em
.
Passo 3
Como derivar
— explicação didática (log-diferenciação):
- Quando a função é da forma
(base e expoente dependem de ), uma forma eficiente é tomar logaritmo natural e derivar implicitamente. - Passos da log-diferenciação: defina
. Tome logaritmo natural dos dois lados:
- Use a propriedade
(válida para ). Aqui em torno de , então:
Passo 4
Derivando implicitamente ambos os lados em relação a
— explicar regras usadas:
- Derivada de
em relação a é (regra da derivada de + derivada implícita porque depende de ). - Do lado direito,
é um produto de duas funções de ; usamos a regra do produto: se então . - Além disso, derivada de
é (regra da cadeia simples).
Aplicando tudo:
Portanto
Passo 5
Isolando
(ou seja
) e reescrevendo em termos de
:
- Lembrando que
, multiplicamos ambos os lados por :
- Substituindo
, obtemos a fórmula final da derivada:
Breve interpretação:
é o produto do próprio valor da função por um fator que combina a variação do expoente e da base.
Passo 6
Avaliar
em
:
- Primeiro confirme
(já dado). - Calcule
. - Calcule
em : . - Portanto o parêntese vale
. - Então
Esse é o coeficiente angular
da reta tangente.
Passo 7
Escrever a equação da reta tangente:
- Usando a forma ponto-inclinação com ponto
e inclinação :
- Se preferir a forma explícita
, desenvolvendo:
Calcule o termo independente:
Logo a forma explícita é