Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da funçaõ f(x)=(x-1)^{x} no ponto (3 ; 8).

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A função f definida por f(x) = (x-1)^{x}.
  • Um ponto do gráfico onde passa a reta tangente: (3;8) (confirmação: f(3) = (3-1)^3 = 2^3 = 8).
    O que o problema pede:
  • Encontrar uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3;8).

Passo 2

O que precisamos fazer para achar a reta tangente num ponto:
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x=3 é f'(3), a derivada de f avaliada em 3.
  • Depois usamos a forma ponto-inclinação da reta: y - f(3) = f'(3)\bigl(x-3\bigr).
Então o objetivo imediato é calcular f'(x) e, em seguida, avaliar em x=3.

Passo 3

Como derivar f(x)=(x-1)^{x} — explicação didática (log-diferenciação):
  • Quando a função é da forma g(x)^{h(x)} (base e expoente dependem de x), uma forma eficiente é tomar logaritmo natural e derivar implicitamente.
  • Passos da log-diferenciação: defina y=f(x)=(x-1)^{x}. Tome logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\bigl((x-1)^x\bigr).
  • Use a propriedade \ln(a^b)=b\ln a (válida para a>0). Aqui x-1>0 em torno de x=3, então:
\ln y = x\ln(x-1).

Passo 4

Derivando implicitamente ambos os lados em relação a x — explicar regras usadas:
  • Derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{y'}{y} (regra da derivada de \ln + derivada implícita porque y depende de x).
  • Do lado direito, x\ln(x-1) é um produto de duas funções de x; usamos a regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'.
  • Além disso, derivada de \ln(x-1) é \dfrac{1}{x-1} (regra da cadeia simples).
    Aplicando tudo:
\frac{y'}{y} = 1\cdot\ln(x-1) + x\cdot\frac{1}{x-1}.
Portanto
\frac{y'}{y} = \ln(x-1) + \frac{x}{x-1}.

Passo 5

Isolando y' (ou seja f'(x)) e reescrevendo em termos de f(x):
  • Lembrando que y=f(x)=(x-1)^x, multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y\left(\ln(x-1) + \frac{x}{x-1}\right).
  • Substituindo y=f(x), obtemos a fórmula final da derivada:
f'(x) = (x-1)^{x}\left(\ln(x-1) + \frac{x}{x-1}\right).
Breve interpretação: f'(x) é o produto do próprio valor da função por um fator que combina a variação do expoente e da base.

Passo 6

Avaliar f'(x) em x=3:
  • Primeiro confirme f(3)=(3-1)^3=2^3=8 (já dado).
  • Calcule \ln(3-1)=\ln 2.
  • Calcule \dfrac{x}{x-1} em x=3: \dfrac{3}{3-1}=\dfrac{3}{2}.
  • Portanto o parêntese vale \ln 2 + \dfrac{3}{2}.
  • Então
f'(3)=8\left(\ln 2 + \frac{3}{2}\right)=8\ln 2 + 12.
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente.

Passo 7

Escrever a equação da reta tangente:
  • Usando a forma ponto-inclinação com ponto (3,8) e inclinação m=f'(3)=8\ln 2 + 12:
y-8 = \bigl(8\ln 2 + 12\bigr)\bigl(x-3\bigr).
  • Se preferir a forma explícita y=mx+b, desenvolvendo:
y = \bigl(8\ln 2 + 12\bigr)x - 3\bigl(8\ln 2 + 12\bigr) + 8.
Calcule o termo independente:
-3\bigl(8\ln 2 + 12\bigr)+8 = -24\ln 2 -36 +8 = -24\ln 2 -28.
Logo a forma explícita é
y = \bigl(8\ln 2 + 12\bigr)x -24\ln 2 -28.

Resposta

y-8=\bigl(8\ln 2 + 12\bigr)\bigl(x-3\bigr)
y=\bigl(8\ln 2 + 12\bigr)x -24\ln 2 -28

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