Mostre que se f(z) é holomorfa \mathrm{e} z, w \in \mathbb{C} são fixos, então
\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} f(z+t w)=f^{\prime}(z) w, \quad t \in \mathbb{R}
Isso quer dizer que a derivada direcional de f em z na direção w, como uma função de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2}, equivale a uma multiplicação do número complexo f^{\prime}(z) por w.

Passo 1

Resumindo, temos f holomorfa em \mathbb{C} e queremos mostrar que, para z,w\in\mathbb{C} fixos, a derivada em t=0 da aplicação real
g(t)=f(z+t\,w)
é dada por
g'(0)=f'(z)\,w.
O que usamos aqui é a definição de derivada complexa e a noção de pequeno o.

Passo 2

Como f é holomorfa em z, existe
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}
e podemos escrever o desenvolvimento
f(z+h)=f(z)+f'(z)\,h+o(h),\qquad h\to0,
onde o(h) significa alguma função de h tal que \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{o(h)}{h}=0.

Passo 3

Agora tomamos h=t\,w. Para t\in\mathbb{R} pequeno temos h\to0, então
f(z+t\,w)=f(z)+f'(z)\,(t\,w)+o(t\,w).

Passo 4

Pela definição de derivada de g(t)=f(z+t\,w) em t=0,
g'(0) =\lim_{t\to0}\frac{f(z+t\,w)-f(z)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f'(z)\,t\,w+o(t\,w)}{t} =f'(z)\,w+\lim_{t\to0}\frac{o(t\,w)}{t}.
Como \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{o(t\,w)}{t}=0, segue
g'(0)=f'(z)\,w.

Resposta

\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(z+t\,w)=f'(z)\,w.

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