Mostre que se f é holomorfa então a multiplicação matricial D f\binom{a}{b} equivale à multiplicação nos complexos f^{\prime}(z)(a+i b).

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \Omega\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C} é holomorfa e pede para mostrar que, se escrevemos um vetor real \binom{a}{b}\in\mathbb{R}^2 como o complexo a+ib, então a multiplicação matricial pelo jacobiano de f em (x,y) coincide com a multiplicação complexa por f'(z), onde z=x+iy. Vamos usar a escrita de f em parte real e imaginária e as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Escrevemos
f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde u,v\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. A derivada complexa, quando existe, é
f'(z)=u_x(x,y)+i\,v_x(x,y).

Passo 3

Como f é holomorfa, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.

Passo 4

O diferencial (jacobiano) de f em (x,y) é a matriz
D f(x,y) = \begin{pmatrix} u_x & u_y\\[6pt] v_x & v_y \end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicando essa matriz ao vetor \binom{a}{b} obtemos
D f(x,y)\,\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_x\,a + u_y\,b\\[4pt] v_x\,a + v_y\,b \end{pmatrix}.
Pela condição de Cauchy–Riemann substituímos u_y=-v_x e v_y=u_x, de modo que
u_x\,a + u_y\,b = u_x\,a - v_x\,b, \quad v_x\,a + v_y\,b = v_x\,a + u_x\,b.]

Passo 6

Por outro lado, a multiplicação complexa de f'(z)=u_x + i\,v_x pelo número a+ib é
(u_x + i\,v_x)\,(a + i\,b) = (u_x\,a - v_x\,b) + i\,(v_x\,a + u_x\,b).
Os reais e imaginários coincidem exatamente com as componentes do vetor obtido em

Resposta

Portanto, para toda \binom{a}{b},
D f(x,y)\,\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} \Re\bigl(f'(z)(a+ib)\bigr)\\[4pt] \Im\bigl(f'(z)(a+ib)\bigr) \end{pmatrix},
ou seja, a multiplicação matricial por D f equivale exatamente à multiplicação pelo complexo f'(z).]

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