Mostre que se
é holomorfa então a multiplicação matricial
equivale à multiplicação nos complexos
.
Passo 1
O enunciado diz que
é holomorfa e pede para mostrar que, se escrevemos um vetor real
como o complexo
, então a multiplicação matricial pelo jacobiano de
em
coincide com a multiplicação complexa por
, onde
. Vamos usar a escrita de
em parte real e imaginária e as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Escrevemos
onde
. A derivada complexa, quando existe, é
Passo 3
Como
é holomorfa,
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Passo 4
O diferencial (jacobiano) de
em
é a matriz
Passo 5
Aplicando essa matriz ao vetor
obtemos
Pela condição de Cauchy–Riemann substituímos
e
, de modo que
Passo 6
Por outro lado, a multiplicação complexa de
pelo número
é
Os reais e imaginários coincidem exatamente com as componentes do vetor obtido em
Resposta
Portanto, para toda
,
ou seja, a multiplicação matricial por
equivale exatamente à multiplicação pelo complexo
.]