Mostre uma forma de obter a solução, eq. (02). Identifique cada termo e faça analise dimensional (ou em termos de suas unidades) de cada termo que aparece na solução.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema oscilatório com amortecimento. O enunciado pede para mostrar como resolver essa equação e chegar na solução dada:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise dimensional para entender cada termo dessa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um oscilador harmônico amortecido. Aqui,
é a aceleração,
representa o amortecimento, e
é a força restauradora.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos assumir uma solução do tipo exponencial:
Agora, substituímos essa forma na equação diferencial:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática para
, temos:
Para que o sistema oscile, o discriminante
precisa ser negativo. Então, podemos escrever:
onde
Passo 5
Com esses valores de
, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos combinar os termos trigonométricos em uma única função cosseno com uma fase:
Aqui,
é a amplitude inicial e
é a fase.
Passo 6
Agora, vamos identificar cada termo e fazer a análise dimensional:
-
: Representa a amplitude máxima do movimento. Dimensionalmente, tem unidade de comprimento [L]. -
: É o termo exponencial que descreve o decaimento do movimento devido ao amortecimento. O argumento do exponencial deve ser adimensional, então: -
: A função cosseno também exige que seu argumento seja adimensional. -
: -
: É a fase inicial, que é adimensional.
-
Assim, todas as partes da solução têm as dimensões corretas e a equação está dimensionalmente consistente.
Resposta
A solução para a equação diferencial dada é: