Mostre uma forma de obter a solução, eq. (02). Identifique cada termo e faça analise dimensional (ou em termos de suas unidades) de cada termo que aparece na solução.
x(t)=Xm e^(-gamma / 2) t cos (omega t+phi) ddotx+gamma dotx+omega0^2 x=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema oscilatório com amortecimento. O enunciado pede para mostrar como resolver essa equação e chegar na solução dada:
x(t) = Xm e^-gamma2 t cos (omega t + phi)
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise dimensional para entender cada termo dessa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
ddotx + gamma dotx + omega0^2 x = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um oscilador harmônico amortecido. Aqui, ddotx é a aceleração, gamma dotx representa o amortecimento, e omega0^2 x é a força restauradora.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos assumir uma solução do tipo exponencial:
x(t) = e^lambda t
Agora, substituímos essa forma na equação diferencial:
lambda^2 e^lambda t + gamma lambda e^lambda t + omega0^2 e^lambda t = 0
Dividindo tudo por e^lambda t (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
lambda^2 + gamma lambda + omega0^2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática para lambda, temos:
lambda = -gamma pm raizgamma^2 - 4omega0^22
Para que o sistema oscile, o discriminante gamma^2 - 4omega0^2 precisa ser negativo. Então, podemos escrever:
lambda = -gamma2 pm i omega
onde omega = raizomega0^2 - (gamma2)^2

Passo 5

Com esses valores de lambda, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = e^-gamma2 t ( A cos(omega t) + B sin(omega t) )
Podemos combinar os termos trigonométricos em uma única função cosseno com uma fase:
x(t) = Xm e^-gamma2 t cos(omega t + phi)
Aqui, Xm é a amplitude inicial e phi é a fase.

Passo 6

Agora, vamos identificar cada termo e fazer a análise dimensional:
  1. Xm: Representa a amplitude máxima do movimento. Dimensionalmente, tem unidade de comprimento [L].
  2. e^-gamma2 t: É o termo exponencial que descreve o decaimento do movimento devido ao amortecimento. O argumento do exponencial deve ser adimensional, então:
    gamma2 t Rightarrow [gamma] times [t] = [T^-1] times [T] = adimensional
  3. cos(omega t + phi): A função cosseno também exige que seu argumento seja adimensional.
    • omega t: [omega] times [t] = [T^-1] times [T] = adimensional
    • phi: É a fase inicial, que é adimensional.
Assim, todas as partes da solução têm as dimensões corretas e a equação está dimensionalmente consistente.

Resposta

A solução para a equação diferencial dada é:
x(t) = Xm e^-gamma2 t cos(omega t + phi)

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