- Mostre que a fórmula integral de Cauchy está contida no teorema do Resíduo. Considere a integral complexa
onde o circuito fechado anti-horário
circunda
é analítica no interior de
(e, portanto, tem uma série de Taylor em torno de qualquer ponto no interior de
). Deforme o contorno para bem próximo de a, substitua
pela sua série de Taylor em torno de a e use o teorema do resíduo. Qual é o resultado? Resp:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
onde
é um circuito fechado anti-horário que contorna
e
é analítica no interior de
. O que se pede: mostrar, usando deformação do contorno, a expansão em série de Taylor de
em torno de
e o teorema do resíduo, que essa integral vale
. Informações relevantes fornecidas:
-
é uma curva fechada que contém no seu interior. -
é analítica no interior de (logo possui série de Taylor centrada em com certo raio de convergência). - Queremos relacionar a integral com o teorema do resíduo e chegar ao resultado pedido.
Passo 2
Deformação do contorno: como
é analítica em todo o interior de
exceto possivelmente em
(a única singularidade aparente da função integranda
é em
), pode-se deformar homotopicamente
para um círculo pequeno
centrado em
e de raio
tal que o disco
esteja contido no interior onde
é analítica. A deformação não altera o valor da integral porque não se cruzou nenhuma singularidade adicional. Portanto é equivalente calcular
Passo 3
Série de Taylor de
em torno de
: por hipótese
é analítica no disco de raio pelo menos
em torno de
, logo tem expansão
onde
Essa série converge uniformemente na circunferência
se escolhermos
menor que o raio de convergência. Esse fato permite manipular somas e integrais trocando ordem quando necessário.
Passo 4
Substituição na integranda e troca soma-integral: substituindo a série na integranda obtemos
Pela convergência uniforme da série na circunferência
, pode-se trocar soma e integral:
Passo 5
Cálculo dos integrais termo a termo (ou uso do teorema do resíduo): para cada inteiro
Parâmetrizando
por
,
, tem-se
e
A integral
vale
para todo inteiro
e vale
para
. Portanto
Assim, na soma anterior apenas o termo
é
vezes a soma das residências dos polos no interior. Expandindo em potências de
vimos que o coeficiente de
(que é a definição do resíduo em
) é exatamente
. Logo o resíduo em
é
e a integral é
.]
Passo 6
Identificação final: lembrando que
(coeficiente independente na série de Taylor), concluímos
Multiplicando pelo fator prefatorial dado no enunciado,
Isso demonstra que a fórmula integral de Cauchy é um caso direto da aplicação do teorema do resíduo, pois o resíduo da função
em
é
.