1. Mostre que a fórmula integral de Cauchy está contida no teorema do Resíduo. Considere a integral complexa \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} d z onde o circuito fechado anti-horário \gamma circunda a . f(z) é analítica no interior de \gamma (e, portanto, tem uma série de Taylor em torno de qualquer ponto no interior de \gamma ). Deforme o contorno para bem próximo de a, substitua f(z) pela sua série de Taylor em torno de a e use o teorema do resíduo. Qual é o resultado? Resp: f(a)

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz
onde \gamma é um circuito fechado anti-horário que contorna a e f(z) é analítica no interior de \gamma. O que se pede: mostrar, usando deformação do contorno, a expansão em série de Taylor de f em torno de a e o teorema do resíduo, que essa integral vale f(a). Informações relevantes fornecidas:
  • \gamma é uma curva fechada que contém a no seu interior.
  • f é analítica no interior de \gamma (logo possui série de Taylor centrada em a com certo raio de convergência).
  • Queremos relacionar a integral com o teorema do resíduo e chegar ao resultado pedido.

Passo 2

Deformação do contorno: como f é analítica em todo o interior de \gamma exceto possivelmente em a (a única singularidade aparente da função integranda \dfrac{f(z)}{z-a} é em z=a), pode-se deformar homotopicamente \gamma para um círculo pequeno C_r centrado em a e de raio r>0 tal que o disco \{z:|z-a|<r\} esteja contido no interior onde f é analítica. A deformação não altera o valor da integral porque não se cruzou nenhuma singularidade adicional. Portanto é equivalente calcular
\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.

Passo 3

Série de Taylor de f em torno de a: por hipótese f é analítica no disco de raio pelo menos r em torno de a, logo tem expansão
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n (z-a)^n,
onde
c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.
Essa série converge uniformemente na circunferência |z-a|=r se escolhermos r menor que o raio de convergência. Esse fato permite manipular somas e integrais trocando ordem quando necessário.

Passo 4

Substituição na integranda e troca soma-integral: substituindo a série na integranda obtemos
\frac{f(z)}{z-a}=\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-a)^{n-1}.
Pela convergência uniforme da série na circunferência |z-a|=r, pode-se trocar soma e integral:
\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\oint_{C_r}\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-a)^{n-1}\,dz =\sum_{n=0}^{\infty} c_n \oint_{C_r} (z-a)^{n-1}\,dz.

Passo 5

Cálculo dos integrais termo a termo (ou uso do teorema do resíduo): para cada inteiro n\ge 0\) calculemos \[I_n:=\oint_{C_r}(z-a)^{n-1}\,dz.
Parâmetrizando C_r por z=a+re^{it}, t\in[0,2\pi], tem-se dz = i r e^{it}\,dt e
I_n=\int_{0}^{2\pi} (re^{it})^{n-1} \, i r e^{it}\,dt = i r^{n}\int_{0}^{2\pi} e^{i n t}\,dt.
A integral \int_{0}^{2\pi} e^{i n t}\,dt vale 0 para todo inteiro n\neq 0 e vale 2\pi para n=0. Portanto
I_n = \begin{cases} 2\pi i, & \text{se } n=0,\\[4pt] 0, & \text{se } n\ge 1. \end{cases}
Assim, na soma anterior apenas o termo n=0\] contribui: \[\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = c_0\cdot 2\pi i.\] Observação via teorema do resíduo: o teorema do resíduo diz que a integral em torno de \(C_r é 2\pi i vezes a soma das residências dos polos no interior. Expandindo em potências de (z-a) vimos que o coeficiente de (z-a)^{-1} (que é a definição do resíduo em a) é exatamente c_0. Logo o resíduo em a é c_0 e a integral é 2\pi i c_0.]

Passo 6

Identificação final: lembrando que c_0=f(a) (coeficiente independente na série de Taylor), concluímos
\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\pi i\,f(a).
Multiplicando pelo fator prefatorial dado no enunciado,
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=f(a).
Isso demonstra que a fórmula integral de Cauchy é um caso direto da aplicação do teorema do resíduo, pois o resíduo da função \dfrac{f(z)}{z-a} em z=a é f(a).

Resposta

f(a)

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