1. Uma maneira tradicional de obter as equações de CR é escrever a derivada complexa de f(z) em z_{0} usando duas maneiras distintas de se aproximar de z_{0} (horizontalmente e verticalmente):
f^{\prime}\left(z_{0}\right)=\lim _{d x \rightarrow 0} \frac{f\left(z_{0}+d x\right)-f\left(z_{0}\right)}{d x}=\lim _{d y \rightarrow 0} \frac{f\left(z_{0}+i d y\right)-f\left(z_{0}\right)}{i d y}
Interprete no plano complexo as duas expressões (o i no denominador da 2^{\underline{\mathrm{a}}} expressão é essencial, você vê isso?). Escreva f(z)=u(x, y)+i v(x, y) nos dois casos e interprete os limites como derivadas parciais. Você deve encontrar:
f^{\prime}\left(z_{0}\right)=\partial_{x} u+i \partial_{x} v=\partial_{y} v-i \partial_{x} v

Passo 1

O enunciado nos dá duas expressões para a derivada complexa em \,z_{0}=x_{0}+i y_{0}\,:
f^{\prime}\left(z_{0}\right)=\lim_{d x \rightarrow 0}\frac{f\left(z_{0}+d x\right)-f\left(z_{0}\right)}{d x}
e
f^{\prime}\left(z_{0}\right)=\lim_{d y \rightarrow 0}\frac{f\left(z_{0}+i d y\right)-f\left(z_{0}\right)}{i d y}.
Também somos orientados a escrever f(z)=u(x,y)+i v(x,y) e interpretar esses limites como derivadas parciais. O pedido é interpretar geometricamente as duas expressões (passo horizontal e passo vertical), escrever cada limite em termos de derivadas parciais e igualá-las para obter as relações entre as derivadas (as equações de Cauchy–Riemann).

Passo 2

Vamos analisar a aproximação horizontal (incremento real d x). Tomando z_{0}=x_{0}+i y_{0} e d x real pequeno, temos
f\big(z_{0}+d x\big)=f\big(x_{0}+d x,\;y_{0}\big)=u(x_{0}+d x,y_{0})+i\,v(x_{0}+d x,y_{0}).
A diferença no numerador é
f(z_{0}+d x)-f(z_{0})=\big(u(x_{0}+d x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})\big)+i\big(v(x_{0}+d x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})\big).
Dividindo por d x e fazendo o limite d x\to0, cada parte tende à derivada parcial em relação a x. Definição de derivada parcial: \partial_{x}u(x_{0},y_{0})=\lim_{d x\to0}\dfrac{u(x_{0}+d x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{d x} (idem para v). Logo
\lim_{d x \to 0}\frac{f(z_{0}+d x)-f(z_{0})}{d x}=\partial_{x}u(x_{0},y_{0})+i\,\partial_{x}v(x_{0},y_{0}).
Em palavras: aproximar z_{0} horizontalmente (movimento paralelo ao eixo real) transforma o quociente em uma combinação linear das derivadas parciais \partial_{x}u e \partial_{x}v.

Passo 3

Agora a aproximação vertical (incremento imaginário i d y com d y real pequeno). Temos
f\big(z_{0}+i d y\big)=f\big(x_{0},\,y_{0}+d y\big)=u(x_{0},y_{0}+d y)+i\,v(x_{0},y_{0}+d y).
A diferença no numerador é
f(z_{0}+i d y)-f(z_{0})=\big(u(x_{0},y_{0}+d y)-u(x_{0},y_{0})\big)+i\big(v(x_{0},y_{0}+d y)-v(x_{0},y_{0})\big).
Dividindo por i d y e fazendo d y\to0 obtemos
\lim_{d y\to0}\frac{f(z_{0}+i d y)-f(z_{0})}{i d y} =\frac{\partial_{y}u(x_{0},y_{0})+i\,\partial_{y}v(x_{0},y_{0})}{i}.
Agora simplificamos usando \dfrac{1}{i}=-i. Então
\frac{\partial_{y}u+i\,\partial_{y}v}{i}=-i\,\partial_{y}u+\partial_{y}v,
ou seja
\lim_{d y\to0}\frac{f(z_{0}+i d y)-f(z_{0})}{i d y}=\partial_{y}v(x_{0},y_{0})-i\,\partial_{y}u(x_{0},y_{0}).
Interpretação: aproximar z_{0} verticalmente e dividir pelo incremento imaginário transforma as derivadas em uma combinação diferente (observe o papel do 1/i, que “rotaciona” a combinação, por isso o i no denominador é essencial).

Passo 4

Como ambas as maneiras representam a mesma derivada complexa f^{\prime}(z_{0}), igualamos os resultados dos passos 2 e 3:
\partial_{x}u(x_{0},y_{0})+i\,\partial_{x}v(x_{0},y_{0}) =\partial_{y}v(x_{0},y_{0})-i\,\partial_{y}u(x_{0},y_{0}).
Igualdade entre números complexos significa igualdade das partes reais e das partes imaginárias. Assim obtemos duas equações reais:
\partial_{x}u(x_{0},y_{0})=\partial_{y}v(x_{0},y_{0})
e
\partial_{x}v(x_{0},y_{0})=-\partial_{y}u(x_{0},y_{0}).
Estas são exatamente as equações de Cauchy–Riemann na forma usual. Reescrevendo de modo alternativo, as duas condições podem ser colocadas como
\partial_{x}u=\partial_{y}v,\qquad \partial_{y}u=-\partial_{x}v.

Passo 5

Breve interpretação geométrica e um exemplo rápido:
  • Geometricamente, exigir que o limite do quociente \dfrac{f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z} exista e seja único para qualquer direção \Delta z significa que as taxas de variação de u e v nas direções real e imaginária não são independentes: elas devem se relacionar exatamente pelas equações de Cauchy–Riemann. Isso garante que a “multiplicação complexa” localmente se comporta como um escalar complexo (linear complexa), sem dependência de direção.
  • Exemplo check rápido: para f(z)=z^{2} temos f(x+iy)=(x^{2}-y^{2})+i(2xy). Então \partial_{x}u=2x, \partial_{y}v=2x; \partial_{y}u=-2y, \partial_{x}v=2y; com isso \partial_{x}u=\partial_{y}v e \partial_{y}u=-\partial_{x}v se cumprem, como esperado.

Resposta

f^{\prime}(z_{0})=\partial_{x}u(x_{0},y_{0})+i\,\partial_{x}v(x_{0},y_{0}) =\partial_{y}v(x_{0},y_{0})-i\,\partial_{y}u(x_{0},y_{0})
\partial_{x}u=\partial_{y}v,\qquad \partial_{x}v=-\partial_{y}u

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