- Uma maneira tradicional de obter as equações de CR é escrever a derivada complexa de
em
usando duas maneiras distintas de se aproximar de
(horizontalmente e verticalmente):
Interprete no plano complexo as duas expressões (o
no denominador da
expressão é essencial, você vê isso?). Escreva
nos dois casos e interprete os limites como derivadas parciais. Você deve encontrar:
Passo 1
O enunciado nos dá duas expressões para a derivada complexa em
:
e
Também somos orientados a escrever
e interpretar esses limites como derivadas parciais. O pedido é interpretar geometricamente as duas expressões (passo horizontal e passo vertical), escrever cada limite em termos de derivadas parciais e igualá-las para obter as relações entre as derivadas (as equações de Cauchy–Riemann).
Passo 2
Vamos analisar a aproximação horizontal (incremento real
). Tomando
e
real pequeno, temos
A diferença no numerador é
Dividindo por
e fazendo o limite
, cada parte tende à derivada parcial em relação a
. Definição de derivada parcial:
(idem para
). Logo
Em palavras: aproximar
horizontalmente (movimento paralelo ao eixo real) transforma o quociente em uma combinação linear das derivadas parciais
e
.
Passo 3
Agora a aproximação vertical (incremento imaginário
com
real pequeno). Temos
A diferença no numerador é
Dividindo por
e fazendo
obtemos
Agora simplificamos usando
. Então
ou seja
Interpretação: aproximar
verticalmente e dividir pelo incremento imaginário transforma as derivadas em uma combinação diferente (observe o papel do
, que “rotaciona” a combinação, por isso o
no denominador é essencial).
Passo 4
Como ambas as maneiras representam a mesma derivada complexa
, igualamos os resultados dos passos 2 e 3:
Igualdade entre números complexos significa igualdade das partes reais e das partes imaginárias. Assim obtemos duas equações reais:
e
Estas são exatamente as equações de Cauchy–Riemann na forma usual. Reescrevendo de modo alternativo, as duas condições podem ser colocadas como
Passo 5
Breve interpretação geométrica e um exemplo rápido:
- Geometricamente, exigir que o limite do quociente
exista e seja único para qualquer direção significa que as taxas de variação de e nas direções real e imaginária não são independentes: elas devem se relacionar exatamente pelas equações de Cauchy–Riemann. Isso garante que a “multiplicação complexa” localmente se comporta como um escalar complexo (linear complexa), sem dependência de direção. - Exemplo check rápido: para
temos . Então , ; , ; com isso e se cumprem, como esperado.