- Usando a série de Taylor de
em torno de
, obtenha a série de Laurent de
em torno do ponto singular
(até o termo linear, usando o exposto acima). Qual é o domínio de validade dessa série? Qual é o valor do resíduo em
? Resp:
, a série converge em todo o plano (menos em
, é claro),
e
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre
ao redor do ponto
:
- Obter a série de Laurent centrada em
até o termo linear (ou seja, termos até ); - Dizer o domínio de validade dessa série;
- Calcular o resíduo de
em .
Informações já dadas/implícitas:
- A função exponencial
é uma função inteira (tem série de Taylor com raio de convergência infinito); - O ponto
é singular de por causa do denominador .
Passo 2
Lembrando como construir a série de Taylor de
em torno de
.
A definição prática: a série de Taylor de
centrada em
é obtida escrevendo
e expandindo
pela série conhecida de
com
.
Portanto, em termos de
:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a constante ; -
é o fatorial de ; - A série converge para todo
porque a expansão de tem raio de convergência infinito.
Passo 3
Agora construímos a série de Laurent de
dividindo a série de
por
.
Partindo de
temos
Agora listamos os primeiros termos (tomando
):
- Para
: termo . - Para
: termo . - Para
: termo . - Para
: termo . - E assim por diante.
Portanto, até o termo linear obtemos a forma pedida:
Uma forma compacta para todos os termos é
Passo 4
Domínio de validade da série.
A série utilizada para
converge para todo
(raio de convergência infinito). Ao dividir por
introduzimos potências negativas centradas em
, ou seja a expansão é uma série de Laurent com centro em
que é válida para todo
exceto
(onde a função tem singularidade). Em notação de conjuntos, o domínio de validade é
, isto é, o plano complexo com o ponto
removido (o plano puncturado centrado em
).
Passo 5
Cálculo do resíduo em
.
Definição prática: o resíduo
é o coeficiente do termo
na série de Laurent. Na série obtida, esse coeficiente é exatamente
. Logo
Verificação alternativa (fórmula para polo de ordem
): se
tem polo de ordem
em
, então
o que confirma o resultado.