1. Usando a série de Taylor de e^{z} em torno de z=1, obtenha a série de Laurent de f(z)= e^{z} /(z-1)^{2} em torno do ponto singular z=1 (até o termo linear, usando o exposto acima). Qual é o domínio de validade dessa série? Qual é o valor do resíduo em z=1 ? Resp: \frac{e}{(z-1)^{2}}+\frac{e}{z-1}+ \frac{e}{2!}+\frac{e}{3!}(z-1)+\cdots, a série converge em todo o plano (menos em z=1, é claro), \operatorname{Res}(f, 1)= e

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre f(z)=\dfrac{e^{z}}{(z-1)^{2}} ao redor do ponto z=1:
  • Obter a série de Laurent centrada em z=1 até o termo linear (ou seja, termos até (z-1)^{1});
  • Dizer o domínio de validade dessa série;
  • Calcular o resíduo de f em z=1.
Informações já dadas/implícitas:
  • A função exponencial e^{z} é uma função inteira (tem série de Taylor com raio de convergência infinito);
  • O ponto z=1 é singular de f por causa do denominador (z-1)^{2}.

Passo 2

Lembrando como construir a série de Taylor de e^{z} em torno de z=1.
A definição prática: a série de Taylor de e^{z} centrada em z=1 é obtida escrevendo e^{z}=e^{1+(z-1)}=e\cdot e^{\,z-1} e expandindo e^{\,z-1} pela série conhecida de e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{w^{n}}{n!} com w=z-1.
Portanto, em termos de z:
e^{z}=e\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{n}}{n!}.
Aqui cada símbolo significa:
  • e é a constante e^{1};
  • n! é o fatorial de n;
  • A série converge para todo z porque a expansão de e^{w} tem raio de convergência infinito.

Passo 3

Agora construímos a série de Laurent de f(z) dividindo a série de e^{z} por (z-1)^{2}.
Partindo de
e^{z}=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{n}}{n!},
temos
f(z)=\frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{n-2}}{n!}.
Agora listamos os primeiros termos (tomando n=0,1,2,3,\ldots):
  • Para n=0: termo e\frac{(z-1)^{-2}}{0!}=\dfrac{e}{(z-1)^{2}}.
  • Para n=1: termo e\frac{(z-1)^{-1}}{1!}=\dfrac{e}{(z-1)}.
  • Para n=2: termo e\frac{(z-1)^{0}}{2!}=\dfrac{e}{2!}.
  • Para n=3: termo e\frac{(z-1)^{1}}{3!}=\dfrac{e}{3!}(z-1).
  • E assim por diante.
Portanto, até o termo linear obtemos a forma pedida:
f(z)=\frac{e}{(z-1)^{2}}+\frac{e}{(z-1)}+\frac{e}{2!}+\frac{e}{3!}(z-1)+\cdots
Uma forma compacta para todos os termos é
f(z)=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{n-2}}{n!}.

Passo 4

Domínio de validade da série.
A série utilizada para e^{z} converge para todo z\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito). Ao dividir por (z-1)^{2} introduzimos potências negativas centradas em z=1, ou seja a expansão é uma série de Laurent com centro em z=1 que é válida para todo z exceto z=1 (onde a função tem singularidade). Em notação de conjuntos, o domínio de validade é \{z\in\mathbb{C}:0<|z-1|<\infty\}, isto é, o plano complexo com o ponto z=1 removido (o plano puncturado centrado em 1).

Passo 5

Cálculo do resíduo em z=1.
Definição prática: o resíduo \operatorname{Res}(f,1) é o coeficiente do termo (z-1)^{-1} na série de Laurent. Na série obtida, esse coeficiente é exatamente e. Logo
\operatorname{Res}(f,1)=e.
Verificação alternativa (fórmula para polo de ordem 2): se f tem polo de ordem 2 em z=1, então
\operatorname{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}\frac{d}{dz}\big[(z-1)^{2}f(z)\big]=\lim_{z\to1}\frac{d}{dz}\big[e^{z}\big]=e,
o que confirma o resultado.

Resposta

\displaystyle f(z)=\frac{e}{(z-1)^{2}}+\frac{e}{(z-1)}+\frac{e}{2!}+\frac{e}{3!}(z-1)+\cdots
\displaystyle O domínio de validade é \{z\in\mathbb{C}:0<|z-1|<\infty\} (o plano complexo sem z=1).
\displaystyle \operatorname{Res}(f,1)=e

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