Mostre que as fórmulas a seguir são tautologias:
H=(forall x) p(x) p(a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula H = (forall x),p(x) to p(a) é uma tautologia (ou seja, válida em qualquer interpretação). O conteúdo é Lógica de Predicados de 1ª ordem, e vamos usar a semântica do quantificador universal e a definição de tautologia.

Passo 2

Primeiro, lembrar que (forall x),p(x) significa “para todo elemento do domínio, p vale”. Se em uma interpretação qualquer (forall x),p(x) for verdadeiro, então em particular p(a) também precisa ser verdadeiro, pois a é um dos elementos do domínio. Essa é a ideia da instanciação universal.

Passo 3

Como teste de tautologia, mostramos que em qualquer interpretação e para qualquer atribuição de a, não há como a implicação falhar: se a premissa (forall x),p(x) vale, então a conclusão p(a) vale. Se a premissa é falsa, a implicação também é verdadeira por definição de to. Logo, em toda situação a fórmula H é verdadeira.

Passo 4

Portanto, concluímos que H é válida em toda interpretação, ou seja, é uma tautologia da Lógica de Predicados.

Resposta

A fórmula H = (forall x),p(x) to p(a) é uma tautologia, pois em qualquer interpretação em que (forall x),p(x) seja verdadeira, a instância p(a) também é verdadeira, e quando a premissa é falsa a implicação é verdadeira por definição de to.

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