Mostre que as fórmulas a seguir são tautologias:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a fórmula
é uma tautologia (ou seja, válida em qualquer interpretação). O conteúdo é Lógica de Predicados de 1ª ordem, e vamos usar a semântica do quantificador universal e a definição de tautologia.
Passo 2
Primeiro, lembrar que
significa “para todo elemento do domínio,
vale”. Se em uma interpretação qualquer
for verdadeiro, então em particular
também precisa ser verdadeiro, pois
é um dos elementos do domínio. Essa é a ideia da instanciação universal.
Passo 3
Como teste de tautologia, mostramos que em qualquer interpretação e para qualquer atribuição de
, não há como a implicação falhar: se a premissa
vale, então a conclusão
vale. Se a premissa é falsa, a implicação também é verdadeira por definição de
. Logo, em toda situação a fórmula
é verdadeira.
Passo 4
Portanto, concluímos que
é válida em toda interpretação, ou seja, é uma tautologia da Lógica de Predicados.
Resposta
A fórmula
é uma tautologia, pois em qualquer interpretação em que
seja verdadeira, a instância
também é verdadeira, e quando a premissa é falsa a implicação é verdadeira por definição de
.