Mostre que as fórmulas a seguir são tautologias:
H=p(a) (exists x) p(x)

Passo 1

Temos a fórmula H = p(a) (exists x),p(x). O tema é lógica de predicados de primeira ordem e queremos mostrar que H é válida em toda interpretação (tautologia). Para isso, usaremos dedução natural, empregando as regras de introdução existencial e introdução de condicional.

Passo 2

No sistema de dedução natural, aplicamos a prova condicional: suponha p(a). A partir dessa hipótese, a regra de introdução existencial permite concluir exists x,p(x), pois dado p(t) podemos inferir exists x,p(x) para qualquer termo t.

Passo 3

Tendo obtido exists x,p(x) sob a hipótese p(a), usamos a regra de introdução de condicional para derivar sem premissas externas
p(a) exists x,p(x)
Como essa derivação não depende de nenhuma premissa não-disparada, concluímos que H é tautologia.

Resposta

A fórmula p(a) (exists x),p(x) é tautologia, pois foi derivada sem premissas no sistema de dedução natural.

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