Verifique se as fórmulas a seguir são tautologias ou não:
Passo 1
O enunciado pede para checar se a fórmula
é tautologia ou não. O conteúdo envolve lógica de predicados de primeira ordem e precisamos usar a semântica de domínios e interpretações para testar validade.
Em lógica de predicados, dizemos que uma fórmula é tautologia (ou válida) se ela é verdadeira em toda interpretação possível, isto é, para qualquer domínio não vazio e qualquer atribuição de predicados e funções. Note que na semântica padrão de primeira ordem o domínio deve ser não vazio.
Em lógica de predicados, dizemos que uma fórmula é tautologia (ou válida) se ela é verdadeira em toda interpretação possível, isto é, para qualquer domínio não vazio e qualquer atribuição de predicados e funções. Note que na semântica padrão de primeira ordem o domínio deve ser não vazio.
Passo 2
Vamos analisar
. Há dois casos: o antecedente
pode ser verdadeiro ou falso.
Passo 3
Se
for falso, então a implicação
é verdadeira independentemente do consequente, pois
é sempre
.
Se for verdadeiro, então por definição temos que para todo elemento
do domínio
é verdadeiro. Como o domínio não é vazio, existe pelo menos um elemento
tal que
é verdadeiro, o que garante que
seja verdadeiro. Assim o consequente é
e, portanto, a implicação é
.
Se
Passo 4
Como em ambos os casos a fórmula
avalia-se como verdadeira em qualquer interpretação com domínio não vazio, concluímos que
é uma fórmula válida (tautologia).
Resposta
A fórmula
é tautologia (válida) na semântica padrão de primeira ordem com domínio não vazio.