Mostre que
\frac{1}{2} \oint_{\alpha}\left(v \frac{\partial u}{\partial x}-u \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(u \frac{\partial v}{\partial y}-v \frac{\partial u}{\partial y}\right) d y=\iint_{\mathbb{D}}\left(u \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}-v \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right) d x d y .

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\frac{1}{2} \oint_{\alpha}\left(v \frac{\partial u}{\partial x}-u \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(u \frac{\partial v}{\partial y}-v \frac{\partial u}{\partial y}\right) d y=\iint_{\mathbb{D}}\left(u \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}-v \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right) d x d y .
Informações e hipóteses que vamos usar (assumidas como habituais para este tipo de resultado):
  • \mathbb{D} é uma região do plano com fronteira simples \alpha orientada positivamente (no sentido anti-horário).
  • u(x,y) e v(x,y) têm derivadas parciais até segunda ordem contínuas em \overline{\mathbb{D}} (isso garante que as integrais de linha e de área e as derivadas que usaremos existem e são contínuas).
    Nada mais é dado no enunciado; o objetivo é demonstrar a igualdade entre a integral de linha dada e a integral dupla indicada.

Passo 2

Vamos usar o Teorema de Green (uma forma do teorema de Stokes em 2D). Enunciado prático do Teorema de Green:
se P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em \overline{\mathbb{D}}, então
\oint_{\alpha} P\,dx + Q\,dy = \iint_{\mathbb{D}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy.
Explicando devagar: P e Q são as componentes do campo de vetor (P,Q). A integral de linha ao longo da fronteira \alpha é igual à integral dupla sobre \mathbb{D} da diferença entre a derivada parcial de Q em x e a derivada parcial de P em y. Essa relação transforma uma integral de contorno numa integral de área — exatamente o que precisamos para ligar o contorno ao integrando com derivadas mistas.

Passo 3

Escolha natural de P e Q: comparar a integral de linha do enunciado com \oint P\,dx+Q\,dy. Tomamos
P = \tfrac{1}{2}\big(v\,u_x - u\,v_x\big),\qquad Q = \tfrac{1}{2}\big(u\,v_y - v\,u_y\big),
onde escrevo u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, v_y=\dfrac{\partial v}{\partial y}, etc. Com essa escolha a integral de linha \oint P\,dx+Q\,dy é exatamente o membro esquerdo do enunciado. Agora precisamos calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
Lembrete de regra usada: derivada parcial de um produto f g em relação a x é f_x g + f g_x. Vamos aplicar isso cuidadosamente.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Usando produto e as notações u_x,u_{xy},v_x,v_{xy}:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \tfrac{1}{2}\big(u_x v_y + u v_{xy} - v_x u_y - v u_{xy}\big).
Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y} = \tfrac{1}{2}\big(v_y u_x + v u_{xy} - u_y v_x - u v_{xy}\big).
Agora formamos a diferença \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}. Subtraindo termo a termo:
\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} &= \tfrac{1}{2}\big(u_x v_y + u v_{xy} - v_x u_y - v u_{xy}\big)\\\ &\qquad -\tfrac{1}{2}\big(v_y u_x + v u_{xy} - u_y v_x - u v_{xy}\big). \end{aligned}
Agrupando e simplificando (observe que u_x v_y cancela com -v_y u_x, e -v_x u_y cancela com +u_y v_x):
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \tfrac{1}{2}\big(2u v_{xy} - 2v u_{xy}\big) = u\,v_{xy} - v\,u_{xy}.
Portanto o integrando do lado direito de Green é exatamente u\,\dfrac{\partial^2 v}{\partial x\partial y} - v\,\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}, que é o que aparece no enunciado.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green com as escolhas de P e Q feitas:
\oint_{\alpha} P\,dx + Q\,dy = \iint_{\mathbb{D}}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy.
Pelo cálculo do passo anterior, o integrando da direita é u v_{xy}-v u_{xy}. E a integral de linha à esquerda é exatamente a integral de linha do enunciado (porque P e Q foram escolhidos com o fator \tfrac{1}{2}). Logo obtemos
\frac{1}{2} \oint_{\alpha}\left(v u_x - u v_x\right)dx + \left(u v_y - v u_y\right)dy = \iint_{\mathbb{D}}\left(u v_{xy} - v u_{xy}\right) dx\,dy.

Resposta

\frac{1}{2} \oint_{\alpha}\left(v \frac{\partial u}{\partial x}-u \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(u \frac{\partial v}{\partial y}-v \frac{\partial u}{\partial y}\right) d y=\iint_{\mathbb{D}}\left(u \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}-v \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right) d x d y .

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