(potência par no den.).
Passo 1
O enunciado pede que a gente avalie o limite
Informações dadas:
- O numerador é a constante
. - O denominador é
, ou seja, uma potência de expoente (par) de . - Queremos o comportamento da fração quando
se aproxima de (pelas duas direções).
Passo 2
Intuição (sem formalidade): quando
temos
. Como o expoente é
(par),
é sempre positivo para
e tende para
(zero pelo lado positivo). Dividir a constante positiva
por um número positivo que vai para zero produz um número que fica cada vez maior e positivo — ou seja, “vai para infinito” pelo lado positivo.
Passo 3
Agora uma justificativa rigorosa no estilo definição de limite infinito: mostramos que, para qualquer número grande
, existe
tal que, se
, então
Partimos da desigualdade desejada e manipulamos algebricamente (tudo válido porque
quando
):
Portanto, se escolhermos
então sempre que
teremos
. Isso atende exatamente à definição de que a função cresce sem limite positivo ao nos aproximarmos de
.
Passo 4
Observações úteis para a prova:
- A escolha de
depende de e foi simplesmente a raiz quarta de . Esse tipo de manipulação é padrão quando o denominador é uma potência de . - O fato do expoente ser par é crucial: garante que
é positivo tanto para quanto para , então o comportamento é o mesmo dos dois lados (cresce para +infinito). Se o expoente fosse ímpar (por exemplo ), os sinais à esquerda e à direita seriam opostos e os limites laterais seriam e (ou vice‑versa) conforme o numerador.
Passo 5
Resumo prático (como lembrar na prova): com numerador positivo fixo e denomina-dor
,
- se
é par, o limite ao se aproximar de será (se o numerador positivo) ou (se numerador negativo); - se
é ímpar, os limites laterais têm sinais opostos.
No caso dado, numeradore (par), então segue a regra acima.