lim _{x \rightarrow 2} \frac{5}{(x-2)^{4}}=+\infty (potência par no den.).

Passo 1

O enunciado pede que a gente avalie o limite
\lim_{x\to 2}\frac{5}{(x-2)^{4}}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante 5>0.
  • O denominador é (x-2)^{4}, ou seja, uma potência de expoente 4 (par) de (x-2).
  • Queremos o comportamento da fração quando x se aproxima de 2 (pelas duas direções).

Passo 2

Intuição (sem formalidade): quando x\to 2 temos (x-2)\to 0. Como o expoente é 4 (par), (x-2)^{4} é sempre positivo para x\neq2 e tende para 0^+ (zero pelo lado positivo). Dividir a constante positiva 5 por um número positivo que vai para zero produz um número que fica cada vez maior e positivo — ou seja, “vai para infinito” pelo lado positivo.

Passo 3

Agora uma justificativa rigorosa no estilo definição de limite infinito: mostramos que, para qualquer número grande M>0, existe \delta>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta, então
\frac{5}{(x-2)^{4}}>M.
Partimos da desigualdade desejada e manipulamos algebricamente (tudo válido porque (x-2)^{4}>0 quando x\neq2):
\frac{5}{(x-2)^{4}}>M \quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^{4}<\frac{5}{M} \quad\Longleftrightarrow\quad |x-2|<\left(\frac{5}{M}\right)^{1/4}.
Portanto, se escolhermos
\delta=\left(\frac{5}{M}\right)^{1/4},
então sempre que 0<|x-2|<\delta teremos \dfrac{5}{(x-2)^{4}}>M. Isso atende exatamente à definição de que a função cresce sem limite positivo ao nos aproximarmos de 2.

Passo 4

Observações úteis para a prova:
  • A escolha de \delta depende de M e foi simplesmente a raiz quarta de 5/M. Esse tipo de manipulação é padrão quando o denominador é uma potência de |x-a|.
  • O fato do expoente ser par é crucial: garante que (x-2)^{4} é positivo tanto para x\to2^+ quanto para x\to2^-, então o comportamento é o mesmo dos dois lados (cresce para +infinito). Se o expoente fosse ímpar (por exemplo 3), os sinais à esquerda e à direita seriam opostos e os limites laterais seriam +\infty e -\infty (ou vice‑versa) conforme o numerador.

Passo 5

Resumo prático (como lembrar na prova): com numerador positivo fixo e denomina-dor (x-a)^{n},
  • se n é par, o limite ao se aproximar de a será +\infty (se o numerador positivo) ou -\infty (se numerador negativo);
  • se n é ímpar, os limites laterais têm sinais opostos.
    No caso dado, numerador 5>0 e n=4 (par), então segue a regra acima.

Resposta

+\infty

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