lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}= \begin{cases}+\infty, & x \rightarrow 0^{+} \\\\ -\infty, & x \rightarrow 0^{-}\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento de \dfrac{1}{x} quando x se aproxima de 0. Informações e perguntas que temos:
A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x}, cujo domínio é \{x\in\mathbb{R}:x\neq0\}.
Precisamos avaliar o limite quando x\to0. Isso envolve, na prática, analisar os limites laterais \lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x} e \lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}.
Também devemos concluir se existe ou não um limite bilateral \lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}.
Passo 2
Vamos entender bem o que significa um limite que diverge para infinito (isso é teoria essencial, explicada devagar).
A afirmação \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=+\infty quer dizer: para todo número real M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale f(x)>M.
Para limite à direita: \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-a<\delta, então f(x)>M.
Analogamente, \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se -\delta<x-a<0, então f(x)<-M.
Essas definições dizem, em palavras simples: podemos forçar a função a ficar tão grande (positivo) ou tão pequeno (negativo) quanto quisermos, escolhendo x suficientemente próximo de a pela direita ou pela esquerda.
Passo 3
Prova do comportamento à direita: \displaystyle \lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty.
Começamos com uma meta: seja dado um M>0. Queremos encontrar \delta>0 tal que, para todo x com 0<x<\delta, valha \dfrac{1}{x}>M.
Escolha \delta=\dfrac{1}{M}. Note que \delta>0 porque M>0.
Se 0<x<\delta então, como x e \delta são positivos, tomando recíprocos obtemos
\frac{1}{x}>\frac{1}{\delta}=M.
Isso mostra exatamente a definição: para qualquer M>0 existe \delta=1/M que faz com que \dfrac{1}{x}>M sempre que 0<x<\delta. Logo
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty.
Passo 4
Prova do comportamento à esquerda: \displaystyle \lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.
Novamente, tome um M>0 arbitrário. Queremos \delta>0 tal que, para todo x com -\delta<x<0, valha \dfrac{1}{x}<-M.
Escolha \delta=\dfrac{1}{M} (mesma ideia numérica que antes).
Seja x com -\delta<x<0. Então |x|<\delta, isto é, 0<|x|<\delta. Como x é negativo, escrevemos \dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{|x|}.
De 0<|x|<\delta segue \dfrac{1}{|x|}>\dfrac{1}{\delta}=M. Assim
\frac{1}{x}=-\frac{1}{|x|}< -M.
Isso satisfaz a definição de divergência para -\infty pela esquerda. Portanto
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.
Passo 5
Interpretação intuitiva e números para fixar a ideia (útil na prova e pra memória): ao pegar x>0 cada vez menor, \dfrac{1}{x} cresce sem limite: por exemplo \dfrac{1}{0{,}1}=10, \dfrac{1}{0{,}01}=100, \dfrac{1}{0{,}001}=1000, etc. Para x<0 com |x| pequeno, os recíprocos são grandes em módulo e negativos: \dfrac{1}{-0{,}01}=-100, \dfrac{1}{-0{,}001}=-1000. Isso corresponde exatamente às provas formais dos passos anteriores.
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem — pela direita dá +\infty e pela esquerda dá -\infty — não existe um limite finito nem um único limite bilateral (nem mesmo um único infinito com sinal) para \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}. Em termos formais, a inexistência do limite bilateral decorre do fato de que os dois limites laterais são diferentes.
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x}= \begin{cases}+\infty, & x \rightarrow 0^{+} \\[4pt] -\infty, & x \rightarrow 0^{-}\end{cases}]