Mostre que (\frac{\partial P}{\partial S})_{V}=\frac{T}{C_{v}(\frac{\partial T}{\partial P})_{V}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial S}\Bigr)_{V} =\frac{T}{C_{V}\,\bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\bigr)_{V}}.
Aqui P e S são funções termodinâmicas de variáveis naturais T e V. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, mais a definição do calor específico C_{V}.

Passo 2

Como P=P(T,V) e S=S(T,V), mantendo V fixo podemos usar
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial S}\Bigr)_{V} =\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} \;\Bigl(\frac{\partial T}{\partial S}\Bigr)_{V}.

Passo 3

Pela definição de calor específico a volume constante,
C_{V} = T\;\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V}.
Invertendo isso em T fixo,
\Bigl(\frac{\partial T}{\partial S}\Bigr)_{V} =\frac{1}{\bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\bigr)_{V}} =\frac{T}{C_{V}}.
Substituindo em

Passo 4

\Bigl(\frac{\partial P}{\partial S}\Bigr)_{V} =\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}\,\frac{T}{C_{V}}.

Passo 5

Finalmente, note que, para V fixo, as derivadas parciais invertidas satisfazem
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} =\frac{1}{\bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\bigr)_{V}}.
Logo
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial S}\Bigr)_{V} =\frac{T}{C_{V}}\; \frac{1}{\bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\bigr)_{V}} =\frac{T}{C_{V}\,\bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\bigr)_{V}}.

Resposta

\Bigl(\frac{\partial P}{\partial S}\Bigr)_{V} =\frac{T}{C_{V}\,\bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\bigr)_{V}}.

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