Mostre que dA=-SdT -PdV e a seguir mostre que (\frac{\partial S}{\partial V})_{T}=(\frac{\partial P}{\partial T})_{V}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a diferencial da energia livre de Helmholtz
\displaystyle A = U - T S
é
dA = -S\,dT \;-\; P\,dV
e, a seguir, a partir disso, deduzir a relação de Maxwell
\bigl(\tfrac{\partial S}{\partial V}\bigr)_{T} = \bigl(\tfrac{\partial P}{\partial T}\bigr)_{V}.
Para isso vamos usar a primeiríssima lei da termodinâmica na forma
dU = T\,dS \;-\; P\,dV
e a definição de A como função de estado em (T,V).

Passo 2

Começamos calculando dA a partir de
A = U - T\,S.
Em particular,
dA = dU \;-\; d(TS) = dU \;-\; T\,dS \;-\; S\,dT.
Agora substituímos dU pela forma da primeira lei:
dU = T\,dS \;-\; P\,dV.
Logo
dA = \bigl(T\,dS - P\,dV\bigr) - T\,dS - S\,dT = -P\,dV \;-\; S\,dT.

Passo 3

Como A é função de estado cujas variáveis naturais são (T,V), a diferencial total pode ser escrita também como
dA = \Bigl(\tfrac{\partial A}{\partial T}\Bigr)_{V} dT + \Bigl(\tfrac{\partial A}{\partial V}\Bigr)_{T} dV.
Comparando com
dA = -S\,dT \;-\; P\,dV
vemos que
\Bigl(\tfrac{\partial A}{\partial T}\Bigr)_{V} = -S, \qquad \Bigl(\tfrac{\partial A}{\partial V}\Bigr)_{T} = -P.

Passo 4

Como A(T,V) tem derivadas parciais contínuas, valem as derivadas cruzadas iguais:
\frac{\partial}{\partial V} \Bigl(\tfrac{\partial A}{\partial T}\Bigr)_{V} = \frac{\partial}{\partial T} \Bigl(\tfrac{\partial A}{\partial V}\Bigr)_{T}.
Isto é,
\frac{\partial}{\partial V}(-S) = \frac{\partial}{\partial T}(-P).
Cancelando o sinal menos de ambos os lados obtemos a relação de Maxwell desejada:
\bigl(\tfrac{\partial S}{\partial V}\bigr)_{T} = \bigl(\tfrac{\partial P}{\partial T}\bigr)_{V}.

Resposta

dA = -S\,dT - P\,dV \quad\text{e}\quad \bigl(\tfrac{\partial S}{\partial V}\bigr)_{T} = \bigl(\tfrac{\partial P}{\partial T}\bigr)_{V}.

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