Mostre que
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i \hbar}{2 m}\left(\Psi^{*} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}-\Psi \frac{\partial^{2} \Psi^{*}}{\partial x^{2}}\right)
Sugestão: a equação de Schrödinger é dada por i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}+V \Psi

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i \hbar}{2 m}\left(\Psi^{*} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}-\Psi \frac{\partial^{2} \Psi^{*}}{\partial x^{2}}\right).
Informações dadas e condições que usaremos:
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi,
onde \Psi=\Psi(x,t) é, em geral, uma função complexa e V=V(x,t) é o potencial (assumimos V real, ou seja V^{*}=V). Também usaremos a definição do módulo ao quadrado:
|\Psi|^{2}=\Psi^{*}\Psi.
Aqui listei claramente o que é pedido e as informações que o enunciado dá. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Aplicar a regra do produto para derivada temporal de |\Psi|^{2}. A regra do produto diz que \frac{\partial}{\partial t}(fg)=f\frac{\partial g}{\partial t}+g\frac{\partial f}{\partial t}. Tomando f=\Psi^{*} e g=\Psi temos:
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^{*}\Psi)=\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial t}+\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}.
Explicação curta: \Psi^{*} é o conjugado complexo de \Psi; a derivada temporal atua em cada fator do produto.

Passo 3

Obter expressões para \frac{\partial \Psi}{\partial t} e \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} a partir da equação de Schrödinger e de sua conjugada complexa. Da equação fornecida:
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi.
Isolando \frac{\partial \Psi}{\partial t} (dividindo por i\hbar, lembrando que 1/(i\hbar)=-i/\hbar):
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\!\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi\right) =\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\frac{i}{\hbar}V\Psi.
Agora tomamos o conjugado complexo da equação de Schrödinger. Conjugando termo a termo (lembre que (i)^{*}=-i e assumindo V^{*}=V):
-i\hbar\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+V\Psi^{*}.
Isolando \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} (dividindo por -i\hbar, lembrando que 1/(-i\hbar)=i/\hbar):
\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\!\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+V\Psi^{*}\right) =-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^{*}.
Breve lembrete didático: ao conjugar, trocamos i por -i, e \Psi por \Psi^{*}. Por isso surgem os sinais diferenciados nas duas expressões.

Passo 4

Substituir \frac{\partial \Psi}{\partial t} e \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} na expressão obtida no Passo 2. Começamos por escrever a soma:
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\Psi^{*}\left(\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\frac{i}{\hbar}V\Psi\right) +\Psi\left(-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^{*}\right).
Agora expandimos em termos separados (termos cinéticos e termos com V):
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} =\frac{i\hbar}{2m}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} -\frac{i}{\hbar}V\Psi^{*}\Psi -\frac{i\hbar}{2m}\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}} +\frac{i}{\hbar}V\Psi\Psi^{*}.

Passo 5

Observar que os termos que contêm V se cancelam. De fato, como \Psi^{*}\Psi=\Psi\Psi^{*}=|\Psi|^{2}, temos
-\frac{i}{\hbar}V\Psi^{*}\Psi+\frac{i}{\hbar}V\Psi\Psi^{*}=0.
Portanto ficam apenas os termos que envolvem as segundas derivadas espaciais (termos cinéticos). Assim:
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} =\frac{i\hbar}{2m}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} -\frac{i\hbar}{2m}\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}.
Fatorando \frac{i\hbar}{2m}:
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} =\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}\right).

Resposta

\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i \hbar}{2 m}\left(\Psi^{*} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}-\Psi \frac{\partial^{2} \Psi^{*}}{\partial x^{2}}\right)

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