Mostre que
Sugestão: a equação de Schrödinger é dada por
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas e condições que usaremos:
onde
é, em geral, uma função complexa e
é o potencial (assumimos
real, ou seja
). Também usaremos a definição do módulo ao quadrado:
Aqui listei claramente o que é pedido e as informações que o enunciado dá. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Aplicar a regra do produto para derivada temporal de
. A regra do produto diz que
. Tomando
e
temos:
Explicação curta:
é o conjugado complexo de
; a derivada temporal atua em cada fator do produto.
Passo 3
Obter expressões para
e
a partir da equação de Schrödinger e de sua conjugada complexa. Da equação fornecida:
Isolando
(dividindo por
, lembrando que
):
Agora tomamos o conjugado complexo da equação de Schrödinger. Conjugando termo a termo (lembre que
e assumindo
):
Isolando
(dividindo por
, lembrando que
):
Breve lembrete didático: ao conjugar, trocamos
por
, e
por
. Por isso surgem os sinais diferenciados nas duas expressões.
Passo 4
Substituir
e
na expressão obtida no Passo 2. Começamos por escrever a soma:
Agora expandimos em termos separados (termos cinéticos e termos com
):
Passo 5
Observar que os termos que contêm
se cancelam. De fato, como
, temos
Portanto ficam apenas os termos que envolvem as segundas derivadas espaciais (termos cinéticos). Assim:
Fatorando
: