demonstre que
\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x, t)|^{2} d x=0
Sugestão: \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{i \hbar}{2 m}\left[\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right]\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que
\frac{d}{d t}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx=0.
Informações dadas e hipóteses necessárias:
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{i\hbar}{2m}\big[\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\big]\right)
(essa identidade foi sugerida pelo enunciado). Também é preciso assumir as condições físicas usuais para funções de onda: \Psi(x,t) é quadrado-integrável em x para todo t e tende a zero quando x\to\pm\infty (ou, mais fraco, que o fluxo/probability current em \pm\infty seja zero). Essas hipóteses serão usadas para eliminar os termos de contorno ao integrar.

Passo 2

Contextualizando e definindo símbolos (para não nos perder): \Psi(x,t) é a função de onda complexa; \Psi^{*}(x,t) é seu conjugado complexo; \hbar é a constante de Planck reduzida; m é a massa da partícula; \partial_{t} e \partial_{x} denotam derivadas parciais. A identidade sugerida equivale a uma equação de continuidade do tipo \partial_{t}|\Psi|^{2}+\partial_{x}j=0, onde j é o fluxo de probabilidade. Mais adiante vamos usar a identidade exatamente como sugerida.

Passo 3

Começamos integrando a identidade sugerida em x sobre toda a reta. Primeiro escrevo a identidade em forma clara:
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^{2} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{i\hbar}{2m}\Big[\Psi^{*}\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\,\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Big]\right).
Agora integro ambos os lados em x de -\infty a +\infty:
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{i\hbar}{2m}\Big[\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Big]\right)\,dx.

Passo 4

Permuto derivada temporal e integral no lado esquerdo (justificável por hipóteses regulares sobre \Psi), obtendo
\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^{2}\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{i\hbar}{2m}\Big[\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Big]\right)\,dx.
No lado direito aplico o Teorema Fundamental do Cálculo (integração de uma derivada espacial): a integral de \partial_{x}(\cdots) é o valor do argumento nos limites:
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial x}(\cdots)\,dx = \left.\frac{i\hbar}{2m}\Big[\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Big]\right|_{x=-\infty}^{x=+\infty}.

Passo 5

Agora analisamos os termos de contorno. Temos que avaliar
\left.\frac{i\hbar}{2m}\Big[\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Big]\right|_{-\infty}^{+\infty}.
Sob as condições físicas usuais (função de onda quadrado-integrável, suaves o suficiente), \Psi(x,t)\to 0 quando x\to\pm\infty. Nessas condições o produto \Psi^{*}\,\partial_{x}\Psi também tende a zero em \pm\infty (para funções de onda físicas a derivada não diverge mais rápido do que \Psi tende a zero). Assim cada termo do colchete tende a zero nos extremos, e portanto o valor do colchete em +\infty e em -\infty é zero. Em outras palavras o fluxo de probabilidade nos infinitos é nulo.

Passo 6

Concluímos que o lado direito é zero, logo
\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx = 0.
Interpretação rápida: a integral de |\Psi|^{2} é a probabilidade total (ou a norma ao quadrado da função de onda), e a igualdade acima diz que essa probabilidade total é conservada no tempo — isto é, a normalização é preservada pelo tempo de evolução.

Passo 7

Resumo do raciocínio em poucas palavras práticas que você pode usar na prova: comece da identidade proposta (ou derive-a a partir da equação de evolução), integre em x, transforme a integral da derivada espacial em termos de contorno, e use a condição \Psi\to 0 em \pm\infty para anular os contornos. Pronto — a derivada temporal do integral é zero.

Resposta

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