Mostre que
.
Sugestões:
Sugestões:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
.
Informações dadas (anotei exatamente como você sugeriu): e
.
Ou seja, sabemos que a variância é a esperança do quadrado do desvio
e precisamos manipular isso até obter a forma desejada.
Informações dadas (anotei exatamente como você sugeriu):
Ou seja, sabemos que a variância
Passo 2
Lembrações úteis sobre esperança (muito usadas aqui): a esperança é linear e trata constantes como números normais. Em fórmulas:
para constantes
, e se
é uma constante então
Isso significa que podemos puxar números constantes para fora do símbolo
.
Passo 3
Começamos por desenvolver o quadrado do desvio. Calculemos
usando álgebra elementar:
Aqui apenas aplicamos
com
e
.
Passo 4
Agora tomamos a esperança de ambos os lados da igualdade do passo anterior, já que
:
Pela linearidade da esperança, podemos separar os termos:
Passo 5
Use que
é uma constante (número): então
e também
. Substituindo na expressão do passo anterior:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Finalmente, como
é definido como a raiz quadrada positiva da variância, tomamos raiz dos dois lados (a variância é não negativa porque é esperança de um quadrado):
Pronto — chegamos à forma pedida.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (apenas para você ver que funciona): suponha
valha
ou
com probabilidade
cada. Então
e
. Logo
e
, que bate com o cálculo direto dos desvios.