Mostre que \sigma=\sqrt{\left\langle j^{2}\right\rangle-\langle j\rangle^{2}}.
Sugestões: \Delta j=j-\langle j\rangle, \sigma^{2}=\left\langle(\Delta j)^{2}\right\rangle

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que \sigma=\sqrt{\left\langle j^{2}\right\rangle-\langle j\rangle^{2}}.
Informações dadas (anotei exatamente como você sugeriu): \Delta j=j-\langle j\rangle e \sigma^{2}=\left\langle(\Delta j)^{2}\right\rangle.
Ou seja, sabemos que a variância \sigma^{2} é a esperança do quadrado do desvio \Delta j e precisamos manipular isso até obter a forma desejada.

Passo 2

Lembrações úteis sobre esperança (muito usadas aqui): a esperança é linear e trata constantes como números normais. Em fórmulas:
\langle aX + bY \rangle = a\langle X\rangle + b\langle Y\rangle
para constantes a,b, e se c é uma constante então
\langle c\rangle = c.
Isso significa que podemos puxar números constantes para fora do símbolo \langle\cdot\rangle.

Passo 3

Começamos por desenvolver o quadrado do desvio. Calculemos (\Delta j)^{2} usando álgebra elementar:
(\Delta j)^{2} = (j - \langle j\rangle)^{2} = j^{2} - 2\,j\langle j\rangle + \langle j\rangle^{2}.
Aqui apenas aplicamos (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 com a=j e b=\langle j\rangle.

Passo 4

Agora tomamos a esperança de ambos os lados da igualdade do passo anterior, já que \sigma^{2}=\langle(\Delta j)^{2}\rangle:
\sigma^{2} = \langle j^{2} - 2\,j\langle j\rangle + \langle j\rangle^{2}\rangle.
Pela linearidade da esperança, podemos separar os termos:
\sigma^{2} = \langle j^{2}\rangle - 2\,\langle j\langle j\rangle\rangle + \langle \langle j\rangle^{2}\rangle.

Passo 5

Use que \langle j\rangle é uma constante (número): então \langle j\langle j\rangle\rangle = \langle j\rangle\langle j\rangle = \langle j\rangle^{2} e também \langle \langle j\rangle^{2}\rangle = \langle j\rangle^{2}. Substituindo na expressão do passo anterior:
\sigma^{2} = \langle j^{2}\rangle - 2\,\langle j\rangle^{2} + \langle j\rangle^{2}.
Simplificando os termos semelhantes:
\sigma^{2} = \langle j^{2}\rangle - \langle j\rangle^{2}.

Passo 6

Finalmente, como \sigma é definido como a raiz quadrada positiva da variância, tomamos raiz dos dois lados (a variância é não negativa porque é esperança de um quadrado):
\sigma = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{\langle j^{2}\rangle - \langle j\rangle^{2}}.
Pronto — chegamos à forma pedida.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (apenas para você ver que funciona): suponha j valha 0 ou 2 com probabilidade 1/2 cada. Então \langle j\rangle = 1 e \langle j^{2}\rangle = \tfrac{1}{2}(0^{2}+2^{2})=2. Logo \sigma^{2}=2-1^{2}=1 e \sigma=1, que bate com o cálculo direto dos desvios.

Resposta

\sigma=\sqrt{\left\langle j^{2}\right\rangle-\langle j\rangle^{2}}

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