Mostre que a fração
45 n+727 n+4
é irredutível para todo número natural n.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente mostrar que a fração 45n + 727n + 4 é irredutível para todo número natural n. Basicamente, isso significa que o numerador (45n + 7) e o denominador (27n + 4) não têm nenhum divisor comum além de 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Máximo Divisor Comum (MDC) e o Algoritmo de Euclides.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide os dois lados sem deixar resto. Se o MDC for 1, isso significa que os números são primos entre si, ou seja, a fração é irredutível.

Passo 3

Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de 45n + 7 e 27n + 4. O algoritmo funciona assim: a gente divide o número maior pelo menor e substitui os números até chegar em um resto de zero. O último divisor usado antes de chegar em zero é o MDC.

Passo 4

Primeiro passo do algoritmo:
MDC(45n + 7, 27n + 4) = MDC(27n + 4, (45n + 7) - 1 times (27n + 4))
Calculando o que está dentro do MDC:
45n + 7 - (27n + 4) = 18n + 3
Então, agora temos:
MDC(27n + 4, 18n + 3)

Passo 5

Segundo passo:
MDC(27n + 4, 18n + 3) = MDC(18n + 3, (27n + 4) - 1 times (18n + 3))
Calculando novamente:
27n + 4 - (18n + 3) = 9n + 1
Agora, o MDC fica:
MDC(18n + 3, 9n + 1)

Passo 6

Terceiro passo:
MDC(18n + 3, 9n + 1) = MDC(9n + 1, (18n + 3) - 2 times (9n + 1))
Calculando:
18n + 3 - 2 times (9n + 1) = 1
Então, temos:
MDC(9n + 1, 1) = 1

Resposta

Como o Máximo Divisor Comum de 45n + 7 e 27n + 4 é 1, a fração 45n + 727n + 4 é irredutível para todo número natural n.

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