Mostre que a fração
é irredutível para todo número natural
.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente mostrar que a fração
é irredutível para todo número natural
. Basicamente, isso significa que o numerador (45n + 7) e o denominador (27n + 4) não têm nenhum divisor comum além de 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Máximo Divisor Comum (MDC) e o Algoritmo de Euclides.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide os dois lados sem deixar resto. Se o MDC for 1, isso significa que os números são primos entre si, ou seja, a fração é irredutível.
Passo 3
Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de
e
. O algoritmo funciona assim: a gente divide o número maior pelo menor e substitui os números até chegar em um resto de zero. O último divisor usado antes de chegar em zero é o MDC.
Passo 4
Primeiro passo do algoritmo:
Calculando o que está dentro do MDC:
Então, agora temos:
Passo 5
Segundo passo:
Calculando novamente:
Agora, o MDC fica:
Passo 6
Terceiro passo:
Calculando:
Então, temos:
Resposta
Como o Máximo Divisor Comum de
e
é 1, a fração
é irredutível para todo número natural
.