Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
de

Passo 1

O enunciado quer mostrar que a distribuição de Dirac “delta” satisfaz a identidade de deslocamento multiplicativo
Conteúdo: teoria de distribuições (função delta de Dirac) e sua propriedade de filtragem (sifting property)
Vamos precisar saber que, para qualquer função teste varphi(x), vale
integral-infty^+infty de

Passo 2

Na teoria de distribuições, duas distribuições T1 e T2 são iguais se, para toda função teste varphi(x), elas agem da mesma forma, ou seja,
lang<= T1, varphi rang<= = lang<= T2, varphi rang<=

Passo 3

Vamos aplicar isso a T1(x)=x,de e T2(x)=x0,de. Para qualquer função teste varphi(x) temos
lang<= x,de

Passo 4

Usando a propriedade de filtragem, dentro da integral podemos substituir x por x0 no ponto em que de não é zero. Logo,
integral-infty^+infty x,de

Passo 5

Por outro lado,
lang<= x0,de

Passo 6

Como ambas distribuições agem de forma idêntica sobre qualquer função teste, concluímos que
x,de

Resposta

x δ(x − x₀) = x₀ δ(x − x₀)

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