Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado quer mostrar que a distribuição de Dirac “delta” satisfaz a identidade de deslocamento multiplicativo
Conteúdo: teoria de distribuições (função delta de Dirac) e sua propriedade de filtragem (sifting property)
Vamos precisar saber que, para qualquer função teste , vale
Conteúdo: teoria de distribuições (função delta de Dirac) e sua propriedade de filtragem (sifting property)
Vamos precisar saber que, para qualquer função teste
Passo 2
Na teoria de distribuições, duas distribuições
e
são iguais se, para toda função teste
, elas agem da mesma forma, ou seja,
Passo 3
Vamos aplicar isso a
e
. Para qualquer função teste
temos
Passo 4
Usando a propriedade de filtragem, dentro da integral podemos substituir
por
no ponto em que
não é zero. Logo,
Passo 5
Por outro lado,
Passo 6
Como ambas distribuições agem de forma idêntica sobre qualquer função teste, concluímos que
Resposta
x δ(x − x₀) = x₀ δ(x − x₀)