Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a distribuição de Dirac satisfaz a propriedade de escala
. Vamos usar o conteúdo de distribuições generalizadas e a definição de
via sua ação sobre funções teste.
Passo 2
Seja
uma função teste suave de suporte compacto. Pela definição de distribuição de Dirac, temos
Passo 3
Para calcular esse integral, fazemos a mudança de variável
. Então
Passo 4
Substituindo,
Passo 5
Mas esse resultado é exatamente a ação da distribuição
sobre
, pois
Passo 6
Como duas distribuições que coincidem em todas as funções teste são iguais, concluímos que