Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
de

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a distribuição de Dirac satisfaz a propriedade de escala de. Vamos usar o conteúdo de distribuições generalizadas e a definição de de via sua ação sobre funções teste.

Passo 2

Seja varphi(x) uma função teste suave de suporte compacto. Pela definição de distribuição de Dirac, temos
integral-infty^inftydeçá

Passo 3

Para calcular esse integral, fazemos a mudança de variável u=c,x. Então
x=uc, dx=du|c|, de

Passo 4

Substituindo,
integral-infty^inftyde

Passo 5

Mas esse resultado é exatamente a ação da distribuição tfrac1|c|,de sobre varphi, pois
integral-infty^infty1|c|,de

Passo 6

Como duas distribuições que coincidem em todas as funções teste são iguais, concluímos que
de

Resposta

de

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