Mostre que a função dada em cada item é solução da equação diferencial do respectivo item, considere constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função y = -1x^2 é solução da equação diferencial x^2 , dy + 2x y , dx = 0 . Estamos lidando com equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de y em relação a x e substituir na equação para verificar se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a x . Temos:
y = -1x^2
Para encontrar dy , derivamos y em relação a x :
dydx = ddx ( -x^-2 ) = -(-2)x^-3 = 2x^3
Então,
dy = 2x^3 , dx

Passo 3

Agora, vamos substituir dy e y na equação diferencial original:
x^2 , dy + 2x y , dx = 0
Substituindo dy e y :
x^2 ( 2x^3 , dx ) + 2x ( -1x^2 ) dx = 0

Passo 4

Vamos simplificar os termos:
Primeiro termo:
x^2 cdot 2x^3 = 2x^2x^3 = 2x
Segundo termo:
2x cdot ( -1x^2 ) = -2xx^2 = -2x
Então, a equação fica:
2x , dx - 2x , dx = 0

Passo 5

Agora, somamos os termos:
2x , dx - 2x , dx = 0
O que simplifica para:
0 = 0

Resposta

Como a equação resultou em 0 = 0 , isso confirma que a função y = -1x^2 satisfaz a equação diferencial x^2 , dy + 2x y , dx = 0 . Portanto, y = -1x^2 é realmente uma solução da equação dada.

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