Nos exercícios abaixo, dê a ordem de cada EDO e indique se a mesma é linear ou não, justifique sua resposta.
x^2 d y+(y-x y-x e^x) d x=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
x^2,dy + l(y - x,y - x,e^xr),dx = 0
e pede para determinar a ordem da EDO e verificar se ela é linear, justificando a resposta.

Passo 2

Para ver a ordem e a forma, isolamos dy/dx. Dividindo toda a equação por dx e por x^2, obtemos
dydx + y - x,y - x,e^xx^2 = 0 Longrightarrow dydx = -,y - x,y - x,e^xx^2
Simplificando o numerador:
y - x,y = y,(1 - x),
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dydx = -,y,(1 - x) - x,e^xx^2 = y,(x - 1)x^2 + e^xx

Passo 3

A ordem de uma EDO é o maior grau de derivada presente. Aqui só aparece dydx, ou seja, é de ordem 1.

Passo 4

Uma EDO de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
dydx + P(x),y = Q(x),
onde P e Q dependem só de x. No nosso caso:
dydx - underbracex - 1x^2P(x),y = underbracee^xxQ(x)
Vemos que P(x) e Q(x) são funções apenas de x e que y e dydx aparecem com grau 1.
Como não há termos como y^2, y',y ou outras não linearidades em y, confirmamos que a EDO é linear.

Resposta

A equação é de ordem 1 e é linear.

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