Mostre que uma função
é par, então os coeficientes da sua série de Fourier de período
são dados por
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Foi dada uma função
que é par, isto é, satisfaz
- Quer-se mostrar que, para a série de Fourier de período
(usando as fórmulas usuais para os coeficientes), valem as fórmulas
para
, e
para
.
- Para ser explícito: uso como definição padrão dos coeficientes da série de Fourier (período
):
O objetivo é provar as igualdades acima usando a paridade de
.
Passo 2
Propriedades básicas de paridade e integrais em intervalos simétricos (mini-aula):
- Definições:
- Uma função
é par se para todo . - Uma função
é ímpar se para todo .
- Uma função
- Propriedades de integrais em intervalo simétrico
: - Se
é par e integrável em , então Prova rápida: escrevendo a integral como soma em e e fazendo a mudança na parte obtém-se a igualdade. - Se
é ímpar e integrável em , então Prova rápida: a integral em é o negativo da integral em (usar ), somando as duas partes dá zero.
- Se
- Exemplos de paridade elementar:
-
é par, pois . -
é ímpar, pois .
-
- Observação útil: o produto de duas funções pares é par; o produto de uma par com uma ímpar é ímpar.
Passo 3
Aplicando as propriedades ao termo que define
:
- Considere o integrando
Como é par e é par, o produto é par. Verificação direta: - Pela propriedade da integral de uma função par em intervalo simétrico,
- Dividindo ambos os lados por
(lembrando a definição de ) obtemos que vale para todo . (No caso observa-se que , então a igualdade reduz-se a .)
Passo 4
Aplicando as propriedades ao termo que define
:
- Considere o integrando
Aqui é par e é ímpar, portanto o produto é ímpar. Verificação direta: - Pela propriedade da integral de uma função ímpar em intervalo simétrico,
- Dividindo por
e usando a definição de obtemos para todo .
Passo 5
Resumo didático-final (o que usar na prova):
- Para obter a fórmula reduzida de
você usa que o integrando é par e aplica . - Para concluir que
você usa que o integrando é ímpar e aplica . - Essas manipulações são apenas aplicações diretas das definições de par/ímpar e das propriedades das funções trigonométricas.