Mostre que uma função f:[-L, L] \rightarrow \mathbb{R} é par, então os coeficientes da sua série de Fourier de período 2 L são dados por
\begin{aligned} & a_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \cos \frac{n \pi t}{L} d t=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(t) \cos \frac{n \pi t}{L} d t, \quad \text { para } n=0,1,2, \ldots \\\ & b_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \operatorname{sen} \frac{n \pi t}{L} d t=0 \quad \text { para } n=1,2, \ldots \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Foi dada uma função f:[-L,L]\to\mathbb{R} que é par, isto é, satisfaz
f(-t)=f(t)\quad\text{para todo }t\in[-L,L].
  • Quer-se mostrar que, para a série de Fourier de período 2L (usando as fórmulas usuais para os coeficientes), valem as fórmulas
a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt,
para n=0,1,2,\dots, e
b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\,dt=0,
para n=1,2,\dots.
  • Para ser explícito: uso como definição padrão dos coeficientes da série de Fourier (período 2L):
a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt,\qquad b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\,dt.
O objetivo é provar as igualdades acima usando a paridade de f.

Passo 2

Propriedades básicas de paridade e integrais em intervalos simétricos (mini-aula):
  • Definições:
    • Uma função g é par se g(-t)=g(t) para todo t.
    • Uma função h é ímpar se h(-t)=-h(t) para todo t.
  • Propriedades de integrais em intervalo simétrico [-L,L]:
    • Se g é par e integrável em [-L,L], então \int_{-L}^{L} g(t)\,dt=2\int_{0}^{L} g(t)\,dt.Prova rápida: escrevendo a integral como soma em [-L,0] e [0,L] e fazendo a mudança u=-t na parte [-L,0] obtém-se a igualdade.
    • Se h é ímpar e integrável em [-L,L], então \int_{-L}^{L} h(t)\,dt=0.Prova rápida: a integral em [-L,0] é o negativo da integral em [0,L] (usar u=-t), somando as duas partes dá zero.
  • Exemplos de paridade elementar:
    • \cos x é par, pois \cos(-x)=\cos x.
    • \sin x é ímpar, pois \sin(-x)=-\sin x.
  • Observação útil: o produto de duas funções pares é par; o produto de uma par com uma ímpar é ímpar.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao termo que define a_{n}:
  • Considere o integrando g_n(t):=f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}.Como f é par e \cos é par, o produto g_n é par. Verificação direta: g_n(-t)=f(-t)\cos\frac{n\pi(-t)}{L}=f(t)\cos\!\big(-\tfrac{n\pi t}{L}\big)=f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}=g_n(t).
  • Pela propriedade da integral de uma função par em intervalo simétrico, \int_{-L}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt=2\int_{0}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt.
  • Dividindo ambos os lados por L (lembrando a definição de a_n) obtemos a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt,que vale para todo n=0,1,2,\dots. (No caso n=0 observa-se que \cos 0=1, então a igualdade reduz-se a a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\,dt=\dfrac{2}{L}\int_0^L f(t)\,dt.)

Passo 4

Aplicando as propriedades ao termo que define b_{n}:
  • Considere o integrando h_n(t):=f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}.Aqui f é par e \sin é ímpar, portanto o produto h_n é ímpar. Verificação direta: h_n(-t)=f(-t)\sin\frac{n\pi(-t)}{L}=f(t)\sin\!\big(-\tfrac{n\pi t}{L}\big)= -f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}=-h_n(t).
  • Pela propriedade da integral de uma função ímpar em intervalo simétrico, \int_{-L}^{L} f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\,dt=0.
  • Dividindo por L e usando a definição de b_n obtemos b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\,dt=0,para todo n=1,2,\dots.

Passo 5

Resumo didático-final (o que usar na prova):
  • Para obter a fórmula reduzida de a_n você usa que o integrando é par e aplica \int_{-L}^{L}(\cdot)=2\int_0^L(\cdot).
  • Para concluir que b_n=0 você usa que o integrando é ímpar e aplica \int_{-L}^{L}(\cdot)=0.
  • Essas manipulações são apenas aplicações diretas das definições de par/ímpar e das propriedades das funções trigonométricas.

Resposta

a_{n}=\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt=\dfrac{2}{L}\displaystyle\int_{0}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt,\quad n=0,1,2,\ldots\n
b_{n}=\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\,dt=0,\quad n=1,2,\ldots

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