Mostre que a função f(x)=e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=e^x
é contínua em todo \mathbb{R}.
Conteúdo: definição de continuidade e série de potências da exponencial.

Passo 2

Lembrando a definição, f é contínua em x_0 se
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).
Aqui queremos provar que, para todo x_0\in\mathbb{R},
\lim_{x\to x_0}e^x = e^{x_0}.

Passo 3

Fazendo a troca x = x_0 + h, com h\to0, temos
\lim_{x\to x_0}e^x = \lim_{h\to0}e^{\,x_0+h} = e^{x_0}\,\lim_{h\to0}e^h.
Portanto, basta mostrar que
\lim_{h\to0}e^h = 1.

Passo 4

Usamos a série de potências que define e^h:
e^h = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^n}{n!} = 1 + h + \frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \cdots.
Quando h\to0, cada termo \tfrac{h^n}{n!} para n\ge1 tende a 0. Logo a soma converge para 1, isto é,
\lim_{h\to0}e^h = 1.

Passo 5

Substituindo no resultado do Passo 3, obtemos
\lim_{x\to x_0}e^x = e^{x_0}\cdot 1 = e^{x_0}.
Isso mostra que para todo x_0 vale \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Resposta

A função f(x)=e^x é contínua em todo \mathbb{R}.

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