Verifique se a função f(x)=\ln (x) é contínua no intervalo (0,+\infty).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\ln(x)
é contínua no intervalo (0,+\infty). O conteúdo envolvido é definição de continuidade em um ponto, e usaremos a prova \varepsilon–\delta.
Passo 2
Lembrando a definição: uma função f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que \lvert x-a\rvert<\delta, então \lvert f(x)-f(a)\rvert<\varepsilon.
Seja a>0. Queremos mostrar que
\lim_{x\to a}\ln(x)=\ln(a),
isto é, para todo \varepsilon>0 devemos achar \delta>0 com
Concluímos que, para cada a>0 e cada \varepsilon>0 conseguimos \delta>0 que garante \lvert \ln(x)-\ln(a)\rvert<\varepsilon sempre que \lvert x-a\rvert<\delta. Portanto f(x)=\ln(x) é contínua em todo ponto a\in(0,+\infty).
Resposta
A função \ln(x) é contínua em todo o intervalo (0,+\infty).