Verifique se a função f(x)=\ln (x) é contínua no intervalo (0,+\infty).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\ln(x)
é contínua no intervalo (0,+\infty). O conteúdo envolvido é definição de continuidade em um ponto, e usaremos a prova \varepsilon \delta.

Passo 2

Lembrando a definição: uma função f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que \lvert x-a\rvert<\delta, então \lvert f(x)-f(a)\rvert<\varepsilon.
Seja a>0. Queremos mostrar que
\lim_{x\to a}\ln(x)=\ln(a),
isto é, para todo \varepsilon>0 devemos achar \delta>0 com
\lvert x-a\rvert<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl\lvert \ln(x)-\ln(a)\bigr\rvert<\varepsilon.

Passo 3

Note que
\bigl\lvert \ln(x)-\ln(a)\bigr\rvert =\bigl\lvert \ln\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\bigr\rvert.
Queremos forçar \tfrac{x}{a}\in(e^{-\varepsilon},e^{\varepsilon}), pois daí \lvert\ln(x/a)\rvert<\varepsilon. Escolhemos
\delta = a\min\{\,e^{\varepsilon}-1,\;1-e^{-\varepsilon}\}.
Se \lvert x-a\rvert<\delta, então
1-\tfrac{\delta}{a}<\tfrac{x}{a}<1+\tfrac{\delta}{a},
e como \tfrac{\delta}{a}\le e^{\varepsilon}-1 e também \tfrac{\delta}{a}\le1-e^{-\varepsilon}, segue
e^{-\varepsilon}<\tfrac{x}{a}<e^{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad \bigl\lvert \ln(x/a)\bigr\rvert<\varepsilon.

Passo 4

Concluímos que, para cada a>0 e cada \varepsilon>0 conseguimos \delta>0 que garante \lvert \ln(x)-\ln(a)\rvert<\varepsilon sempre que \lvert x-a\rvert<\delta. Portanto f(x)=\ln(x) é contínua em todo ponto a\in(0,+\infty).

Resposta

A função \ln(x) é contínua em todo o intervalo (0,+\infty).

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