Determine em quais pontos a função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3}
é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de continuidade da função racional
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3}.
O conteúdo aqui é continuidade de funções e, em particular, de funções racionais.

Passo 2

Para saber onde uma função é contínua, primeiro identificamos seu domínio. Como o denominador não pode ser zero, exigimos
x-3\neq 0
ou seja,
x\neq 3.
Logo o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 3

Sabemos que toda função racional (quociente de polinômios) é contínua em cada ponto do seu domínio, pois polinômios são contínuos em \mathbb{R} e a divisão por uma função não nula preserva continuidade.

Passo 4

Como não há nenhuma outra restrição além de x\neq 3, concluímos que f é contínua em todo ponto do domínio, isto é, para todo x\in\mathbb{R} tal que x\neq 3.

Resposta

A função f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3} é contínua para todo x\neq 3, ou seja, em (-\infty,3)\cup(3,\infty).

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