Mostre que a função f(x, y)=9 x^2+4 y^2-12 x y-1 possui infinitos pontos críticos. A seguir, mostre que cada um desses pontos críticos é ponto de mínimo local (e absoluto) de f.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a função f(x,y)=9x²+4y²−12xy−1 tem infinitos pontos críticos e que cada um deles é ponto de mínimo (local e absoluto). Vamos precisar de derivadas parciais para achar os críticos, do Hessiano para classificá-los e de completamento de quadrado para mostrar que f≥constante.

Passo 2

Calcular ∂f/∂x e ∂f/∂y, igualar a zero e resolver:
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=18x-12y
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=8y-12x
Igualando ambas a zero, obtemos o sistema
18x-12y=08y-12x=0
Cada equação leva a y=\tfrac32x. Logo, o conjunto dos pontos críticos é a reta y=\tfrac32x, que tem infinitos pontos.

Passo 3

Montar o Hessiano H de f e analisar sua definitude:
$$
H= H=fxx&fxyfyx&fyy=18&-12-12&8= $$
O traço é 18+8=26>0 e o determinante é 18·8−(−12)²=144−144=0. Isso mostra que H é semidefinido positivo (autovalores 0 e 26≥0). Portanto, não há pontos de sela nem máximos locais, apenas mínimos degenerados ao longo da direção do autovetor associado a 0, que coincide com a reta y=\tfrac32x.

Passo 4

Verificar que em cada ponto crítico f vale −1 e que f nunca fica abaixo disso. Usando completamento de quadrado:
Começamos com f(x,y):
9x^2+4y^2-12xy-1= (3x-2y)^2-1
Como (3x−2y)²≥0 para todos (x,y), temos f(x,y)≥−1, e a igualdade ocorre exatamente quando 3x−2y=0, ou seja, y=\tfrac32x.

Passo 5

Da forma (3x−2y)²−1≥−1 e igualdade em y=\tfrac32x vemos que cada ponto crítico atinge o valor mínimo global −1. Assim, todos os pontos da reta y=\tfrac32x são mínimos locais (e também absolutos) de f.

Resposta

Os pontos críticos formam a reta y=\tfrac32x (infinitos pontos) e em cada um f(x,y)=−1, que é o valor mínimo global de f, logo são mínimos locais e absolutos.

Exercícios relacionados