Mostre que a função
possui infinitos pontos críticos. A seguir, mostre que cada um desses pontos críticos é ponto de mínimo local (e absoluto) de
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a função f(x,y)=9x²+4y²−12xy−1 tem infinitos pontos críticos e que cada um deles é ponto de mínimo (local e absoluto). Vamos precisar de derivadas parciais para achar os críticos, do Hessiano para classificá-los e de completamento de quadrado para mostrar que f≥constante.
Passo 2
Calcular ∂f/∂x e ∂f/∂y, igualar a zero e resolver:
A derivada parcial em relação a x é
A derivada parcial em relação a x é
A derivada parcial em relação a y é
Igualando ambas a zero, obtemos o sistema
Cada equação leva a y=\tfrac32x. Logo, o conjunto dos pontos críticos é a reta y=\tfrac32x, que tem infinitos pontos.
Passo 3
Montar o Hessiano H de f e analisar sua definitude:
$$
H=
=
$$
O traço é 18+8=26>0 e o determinante é 18·8−(−12)²=144−144=0. Isso mostra que H é semidefinido positivo (autovalores 0 e 26≥0). Portanto, não há pontos de sela nem máximos locais, apenas mínimos degenerados ao longo da direção do autovetor associado a 0, que coincide com a reta y=\tfrac32x.
O traço é 18+8=26>0 e o determinante é 18·8−(−12)²=144−144=0. Isso mostra que H é semidefinido positivo (autovalores 0 e 26≥0). Portanto, não há pontos de sela nem máximos locais, apenas mínimos degenerados ao longo da direção do autovetor associado a 0, que coincide com a reta y=\tfrac32x.
Passo 4
Verificar que em cada ponto crítico f vale −1 e que f nunca fica abaixo disso. Usando completamento de quadrado:
Começamos com f(x,y):
Começamos com f(x,y):
Como (3x−2y)²≥0 para todos (x,y), temos f(x,y)≥−1, e a igualdade ocorre exatamente quando 3x−2y=0, ou seja, y=\tfrac32x.
Passo 5
Da forma (3x−2y)²−1≥−1 e igualdade em y=\tfrac32x vemos que cada ponto crítico atinge o valor mínimo global −1. Assim, todos os pontos da reta y=\tfrac32x são mínimos locais (e também absolutos) de f.
Resposta
Os pontos críticos formam a reta y=\tfrac32x (infinitos pontos) e em cada um f(x,y)=−1, que é o valor mínimo global de f, logo são mínimos locais e absolutos.