Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=x^2+5 x y+y+1.

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar o Teste da Hessiana pra classificar pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função f(x,y)=x^2+5xy+y+1. Vamos precisar achar primeiro os pontos críticos (onde as derivadas parciais são zero) e depois usar a matriz Hessiana pra ver o sinal do seu determinante e dos menores principais.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e encontre o ponto crítico. Temos
partial fpartial x=2x+5y,
partial fpartial y=5x+1
Igualando a zero:
2x+5y=0,
5x+1=0
Da segunda equação vem x=-tfrac15. Substituindo na primeira:
2l(-tfrac15r)+5y=0implies -tfrac25+5y=0implies y=tfrac225
Logo, o único ponto crítico é l(-tfrac15,tfrac225r).

Passo 3

Monte a matriz Hessiana, que é formada pelas segundas derivadas:
H(x,y)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 =2 & 55 & 0
Este é constante, não depende de (x,y).

Passo 4

No Teste da Hessiana, a gente avalia o determinante de H e o sinal de fxx:
det H = (2)(0)-(5)(5)=-25<0
Quando o determinante é negativo, significa que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (-tfrac15,tfrac225), que é um ponto de sela; não ocorre máximo nem mínimo local.

Exercícios relacionados