Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam: .
Passo 1
O enunciado pede pra gente usar o Teste da Hessiana pra classificar pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função . Vamos precisar achar primeiro os pontos críticos (onde as derivadas parciais são zero) e depois usar a matriz Hessiana pra ver o sinal do seu determinante e dos menores principais.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais e encontre o ponto crítico. Temos
Igualando a zero:
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
Logo, o único ponto crítico é .
Passo 3
Monte a matriz Hessiana, que é formada pelas segundas derivadas:
Este é constante, não depende de (x,y).
Passo 4
No Teste da Hessiana, a gente avalia o determinante de H e o sinal de fxx:
det H = (2)(0)-(5)(5)=-25<0
Quando o determinante é negativo, significa que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
A função tem um único ponto crítico em (-tfrac15,tfrac225), que é um ponto de sela; não ocorre máximo nem mínimo local.