Seja f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}(x-2)^{n}.
(a) Determine o domínio de f.
(b) Calcule f\left(\frac{3}{2}\right).
(c) Escreva a série de potências que define a função f^{\prime}.
(d) Encontre o domínio de f^{\prime}.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}(x-2)^{n}
e pede: (a) dom’inio de converg^encia de f, (b) valor de f(3/2), (c) s’erie de pot^encias de f' e (d) dom’inio de f'. Vamos usar o teste da raz~ao para s’erie de pot^encias, a soma de uma s’erie geom’etrica e a diferencia\c{c}~ao termo a termo.
Passo 2
Aplicando o teste da raz~ao em
a_n = (-1)^n(x-2)^n
calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\bigl|x-2\bigr| = |x-2|.
A s’erie converge se L<1, isto \u00e9
|x-2|<1\quad\Longrightarrow\quad 1<x<3.
Nos extremos x=1 ou x=3 os termos n~ao tendem a zero, ent~ao diverge. Logo o dom’inio de f \u00e9 (1,3).
Para calcular f(3/2) note que a s’erie \u00e9 geom’etrica de primeiro termo 1 e raz~ao