Seja f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}(x-2)^{n}.
(a) Determine o domínio de f.
(b) Calcule f\left(\frac{3}{2}\right).
(c) Escreva a série de potências que define a função f^{\prime}.
(d) Encontre o domínio de f^{\prime}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}(x-2)^{n}
e pede: (a) dom’inio de converg^encia de f, (b) valor de f(3/2), (c) s’erie de pot^encias de f' e (d) dom’inio de f'. Vamos usar o teste da raz~ao para s’erie de pot^encias, a soma de uma s’erie geom’etrica e a diferencia\c{c}~ao termo a termo.

Passo 2

Aplicando o teste da raz~ao em
a_n = (-1)^n(x-2)^n
calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\bigl|x-2\bigr| = |x-2|.
A s’erie converge se L<1, isto \u00e9
|x-2|<1\quad\Longrightarrow\quad 1<x<3.
Nos extremos x=1 ou x=3 os termos n~ao tendem a zero, ent~ao diverge. Logo o dom’inio de f \u00e9 (1,3).
Para calcular f(3/2) note que a s’erie \u00e9 geom’etrica de primeiro termo 1 e raz~ao
r = -\bigl(\tfrac32-2\bigr)=\tfrac12.
Assim
f\bigl(\tfrac32\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}r^n =\frac{1}{1-r} =\frac{1}{1-\tfrac12} =2.

Passo 3

Diferenciando termo a termo a série original, obtemos
f'(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}n\,(x-2)^{n-1}.

Passo 4

A diferenciação termo a termo mantém o mesmo raio de convergência. Logo f' converge também para |x-2|<1, isto é no intervalo (1,3).

Resposta

(a) (1,3)
(b) 2
(c) \displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}n\,(x-2)^{n-1}
(d) (1,3)

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