Mostre que a função
é contínua no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
e pede para mostrar continuidade neste ponto. Dados fornecidos:
- Função:
. - Ponto:
.
O que é pedido: provar que
é contínua em
, ou seja, que
.
Passo 2
Definição (em palavras simples e precisas). Para mostrar que
é contínua em
uso a definição epsilon-delta de limite: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que
Aqui
denota o módulo de um número complexo
, que é a distância de
até
no plano complexo.
Passo 3
Calculo o valor de
no ponto:
Isso será usado como referência no termo
.
Passo 4
Faço a diferença e fatoro para obter uma expressão útil:
Explicando: a diferença de quadráticos e lineares permite fatorar por
; isso é análogo ao fator comum em reais e vale também para complexos.
Passo 5
Tomo o módulo e aplico desigualdade triangular para estimar:
Agora escrevo
e uso a desigualdade triangular
Como
tenho
Logo
Passo 6
Faço a escolha padrão de
em função de
. Seja
dado. Tomo
Se
, então
. Assim
Como
, segue
Portanto, para este
temos a implicação desejada da definição epsilon-delta, o que prova que
.
Passo 7
Conclusão didática rápida: a prova acima é um exemplo do procedimento padrão para polinômios em
. Polinômios complexos podem sempre ser mostrados contínuos com manipulações semelhantes (fatoração e desigualdade triangular); aqui fiz o epsilon-delta explicitamente para
.
Resposta
A função
é contínua em
.