Mostre que a função f(z)=z^{2}+3 z é contínua no ponto z_{0}=2 i.

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto z_{0} e pede para mostrar continuidade neste ponto. Dados fornecidos:
  • Função: f(z)=z^{2}+3z.
  • Ponto: z_{0}=2i.
O que é pedido: provar que f é contínua em z_{0}=2i, ou seja, que \lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}).

Passo 2

Definição (em palavras simples e precisas). Para mostrar que f é contínua em z_{0} uso a definição epsilon-delta de limite: dizer que \lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}) significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
|z-z_{0}|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon.
Aqui |w| denota o módulo de um número complexo w, que é a distância de w até 0 no plano complexo.

Passo 3

Calculo o valor de f no ponto:
f(z_{0})=f(2i)=(2i)^{2}+3(2i)=-4+6i.
Isso será usado como referência no termo f(z)-f(z_{0}).

Passo 4

Faço a diferença e fatoro para obter uma expressão útil:
f(z)-f(z_{0})=z^{2}+3z-(z_{0}^{2}+3z_{0})=(z-z_{0})(z+z_{0}+3).
Explicando: a diferença de quadráticos e lineares permite fatorar por z-z_{0}; isso é análogo ao fator comum em reais e vale também para complexos.

Passo 5

Tomo o módulo e aplico desigualdade triangular para estimar:
|f(z)-f(z_{0})|=|z-z_{0}|\cdot|z+z_{0}+3|.
Agora escrevo z+z_{0}+3=(z-z_{0})+(2z_{0}+3) e uso a desigualdade triangular
|z+z_{0}+3|\le |z-z_{0}|+|2z_{0}+3|.
Como z_{0}=2i tenho
2z_{0}+3=4i+3\quad\Rightarrow\quad |2z_{0}+3|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.
Logo
|f(z)-f(z_{0})|\le |z-z_{0}|\big(|z-z_{0}|+5\big)=|z-z_{0}|^{2}+5|z-z_{0}|.

Passo 6

Faço a escolha padrão de \delta em função de \varepsilon. Seja \varepsilon>0 dado. Tomo
\delta=\min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{6}\right).
Se |z-z_{0}|<\delta\le 1, então |z-z_{0}|^{2}\le |z-z_{0}|. Assim
|f(z)-f(z_{0})|\le |z-z_{0}|^{2}+5|z-z_{0}|\le |z-z_{0}|+5|z-z_{0}|=6|z-z_{0}|.
Como |z-z_{0}|<\delta\le \varepsilon/6, segue
|f(z)-f(z_{0})|<6\cdot\frac{\varepsilon}{6}=\varepsilon.
Portanto, para este \delta temos a implicação desejada da definição epsilon-delta, o que prova que \lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}).

Passo 7

Conclusão didática rápida: a prova acima é um exemplo do procedimento padrão para polinômios em z. Polinômios complexos podem sempre ser mostrados contínuos com manipulações semelhantes (fatoração e desigualdade triangular); aqui fiz o epsilon-delta explicitamente para z_{0}=2i.

Resposta

A função f(z)=z^{2}+3z é contínua em z_{0}=2i.

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