Explicando devagar: r é a distância de z à origem; e^{i2\theta} é um número complexo de módulo 1 que só dá a direção. Assim a expressão é o produto de um fator de módulo r pela direção e^{i2\theta}.
Passo 3
Calculemos o módulo da função para ver seu tamanho quando z\to 0:
Como r=\lvert z\rvert e z\to 0 implica r\to 0, temos que o módulo de \dfrac{z^{2}}{|z|} tende a 0. Para limites de funções complexas, se o módulo tende a 0 então a própria função tende a 0. Portanto a tendência é 0.
Passo 4
Para ser totalmente rigoroso usamos a definição \varepsilon-\delta. Seja f(z)=\dfrac{z^{2}}{|z|} (para z\neq 0). Dado \varepsilon>0 escolha \delta=\varepsilon. Se 0<\lvert z\rvert<\delta então, usando o cálculo do passo anterior,
Isso mostra diretamente que \lim_{z\to 0} f(z)=0 segundo a definição formal de limite.
Passo 5
Para ficar mais intuitivo, veja dois exemplos de aproximações:
Aproximando por reais z=x\in\mathbb{R}, tem-se \dfrac{x^{2}}{|x|}=|x|\to 0.
Aproximando por imaginários z=iy, tem-se \dfrac{(iy)^{2}}{|iy|}=\dfrac{-y^{2}}{|y|}=-|y|\to 0.
Em ambos os casos o valor tende a 0, coerente com o resultado geral.