Calcule, se existir,
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{z^{2}}{|z|} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{z\to 0}\frac{z^{2}}{|z|}.
Informações dadas:
  • z é um número complexo variável que tende a 0.
  • |z| é o módulo (ou valor absoluto) de z, isto é, |z|\ge 0.
  • A expressão \dfrac{z^{2}}{|z|} não está definida em z=0 (é uma forma 0/0), mas o limite quando z se aproxima de 0 pode existir.

Passo 2

Vamos reescrever z em coordenadas polares para visualizar bem o comportamento quando z\to 0.
Todo z\neq 0 pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde r=\lvert z\rvert>0 e \theta\in\mathbb{R} é o argumento de z. Então
z^{2} = r^{2} e^{i2\theta}.
Dividindo por |z|=r obtemos
\frac{z^{2}}{|z|} = \frac{r^{2} e^{i2\theta}}{r} = r\,e^{i2\theta}.
Explicando devagar: r é a distância de z à origem; e^{i2\theta} é um número complexo de módulo 1 que só dá a direção. Assim a expressão é o produto de um fator de módulo r pela direção e^{i2\theta}.

Passo 3

Calculemos o módulo da função para ver seu tamanho quando z\to 0:
\left\lvert \frac{z^{2}}{|z|} \right\rvert = \lvert r\,e^{i2\theta}\rvert = r\cdot \lvert e^{i2\theta}\rvert = r\cdot 1 = r.
Como r=\lvert z\rvert e z\to 0 implica r\to 0, temos que o módulo de \dfrac{z^{2}}{|z|} tende a 0. Para limites de funções complexas, se o módulo tende a 0 então a própria função tende a 0. Portanto a tendência é 0.

Passo 4

Para ser totalmente rigoroso usamos a definição \varepsilon- \delta. Seja f(z)=\dfrac{z^{2}}{|z|} (para z\neq 0). Dado \varepsilon>0 escolha \delta=\varepsilon. Se 0<\lvert z\rvert<\delta então, usando o cálculo do passo anterior,
\left\lvert f(z)-0\right\rvert = \left\lvert \frac{z^{2}}{|z|}\right\rvert = \lvert z\rvert < \delta = \varepsilon.
Isso mostra diretamente que \lim_{z\to 0} f(z)=0 segundo a definição formal de limite.

Passo 5

Para ficar mais intuitivo, veja dois exemplos de aproximações:
  • Aproximando por reais z=x\in\mathbb{R}, tem-se \dfrac{x^{2}}{|x|}=|x|\to 0.
  • Aproximando por imaginários z=iy, tem-se \dfrac{(iy)^{2}}{|iy|}=\dfrac{-y^{2}}{|y|}=-|y|\to 0.
    Em ambos os casos o valor tende a 0, coerente com o resultado geral.

Resposta

0

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