Considere as funções abaixo.
Sejam
e
funções analíticas em uma região
em
tais que
para todo
, prove que
e
diferem por uma constante.
Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- São dadas duas funções
e que são analíticas em uma região . - Sabe-se que
para todo .
O que o problema pede: provar que
e
diferem por uma constante em
; ou seja, mostrar que existe uma constante
tal que para todo
vale
Passo 2
Defina a função
por
Lista das propriedades que já temos para
:
- Como
e são analíticas em , a diferença também é analítica em (a soma e a subtração de funções analíticas são analíticas). - A derivada de
é
Pelo enunciado
em todo
, logo
Passo 3
Agora vamos usar uma propriedade fundamental de funções analíticas: toda função analítica tem expansão em série de Taylor centrada em qualquer ponto do domínio (pelo menos dentro do raio de convergência até a fronteira do domínio). Em particular, fixe um ponto
. Como
é analítica em
, existe um raio
tal que
admite a expansão em série de Taylor para
:
onde
é a
-ésima derivada de
em
.
Passo 4
Mostramos que todos os coeficientes desta série, exceto o termo de ordem zero, são nulos. Já sabemos que
para todo
. Como
é analítica, todas as derivadas superiores existem e podemos diferenciar a identidade
quantas vezes quisermos; diferenciando uma vez obtemos
e por indução
Em particular, para o ponto
fixo,
para todo
. Substituindo na série de Taylor obtemos, para
,
Portanto
é constante em um disco centrado em
. Como
foi um ponto arbitrário de
, concluímos que
é localmente constante em
.
Passo 5
Resta passar de localmente constante para globalmente constante no domínio
. Aqui usamos que
é uma região, isto é, um conjunto aberto e conexo. Como
é constante em torno de cada ponto, e discos locais que se sobrepõem levam à mesma constante nas interseções (se duas vizinhanças se intersectam, a função tem o mesmo valor nas duas porque em cada uma vale a constante local), percorre-se qualquer caminho dentro de
por uma cadeia finita de discos sobrepostos e a constante local persiste ao longo do caminho. Assim o valor de
em qualquer ponto de
coincide com o valor em um ponto inicial fixo. Em outras palavras, a conectividade de
garante que a constante local é a mesma para todo o domínio:
é constante em
.
Passo 6
Voltando à definição
, o que acabamos de provar é que existe
tal que para todo
ou equivalentemente
Isso é exatamente o que se pedia:
e
diferem por uma constante.