Considere as funções abaixo.
Sejam f e g funções analíticas em uma região D em \mathbb{C} tais que f^{\prime}(z)=g^{\prime}(z) para todo z \in D, prove que f e g diferem por uma constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • São dadas duas funções f e g que são analíticas em uma região D\subset\mathbb{C}.
  • Sabe-se que f^{\prime}(z)=g^{\prime}(z) para todo z\in D.
O que o problema pede: provar que f e g diferem por uma constante em D; ou seja, mostrar que existe uma constante C\in\mathbb{C} tal que para todo z\in D vale
f(z)=g(z)+C.

Passo 2

Defina a função h:\,D\to\mathbb{C} por
h(z)=f(z)-g(z).
Lista das propriedades que já temos para h:
  • Como f e g são analíticas em D, a diferença h também é analítica em D (a soma e a subtração de funções analíticas são analíticas).
  • A derivada de h é
h^{\prime}(z)=f^{\prime}(z)-g^{\prime}(z).
Pelo enunciado f^{\prime}(z)=g^{\prime}(z) em todo D, logo
h^{\prime}(z)=0\quad\text{para todo }z\in D.

Passo 3

Agora vamos usar uma propriedade fundamental de funções analíticas: toda função analítica tem expansão em série de Taylor centrada em qualquer ponto do domínio (pelo menos dentro do raio de convergência até a fronteira do domínio). Em particular, fixe um ponto a\in D. Como h é analítica em D, existe um raio R>0 tal que h admite a expansão em série de Taylor para |z-a|<R:
h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{(n)}(a)}{n!}\,(z-a)^n,
onde h^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de h em a.

Passo 4

Mostramos que todos os coeficientes desta série, exceto o termo de ordem zero, são nulos. Já sabemos que h^{\prime}(z)=0 para todo z\in D. Como h é analítica, todas as derivadas superiores existem e podemos diferenciar a identidade h^{\prime}(z)=0 quantas vezes quisermos; diferenciando uma vez obtemos
h^{\prime\prime}(z)=0,
e por indução
h^{(n)}(z)=0\quad\text{para todo }n\ge 1\text{ e todo }z\in D.
Em particular, para o ponto a fixo, h^{(n)}(a)=0 para todo n\ge 1. Substituindo na série de Taylor obtemos, para |z-a|<R,
h(z)=\frac{h^{(0)}(a)}{0!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0}{n!}(z-a)^n = h(a).
Portanto h é constante em um disco centrado em a. Como a foi um ponto arbitrário de D, concluímos que h é localmente constante em D.

Passo 5

Resta passar de localmente constante para globalmente constante no domínio D. Aqui usamos que D é uma região, isto é, um conjunto aberto e conexo. Como h é constante em torno de cada ponto, e discos locais que se sobrepõem levam à mesma constante nas interseções (se duas vizinhanças se intersectam, a função tem o mesmo valor nas duas porque em cada uma vale a constante local), percorre-se qualquer caminho dentro de D por uma cadeia finita de discos sobrepostos e a constante local persiste ao longo do caminho. Assim o valor de h em qualquer ponto de D coincide com o valor em um ponto inicial fixo. Em outras palavras, a conectividade de D garante que a constante local é a mesma para todo o domínio: h é constante em D.

Passo 6

Voltando à definição h=f-g, o que acabamos de provar é que existe C\in\mathbb{C} tal que para todo z\in D
f(z)-g(z)=C,
ou equivalentemente
f(z)=g(z)+C.
Isso é exatamente o que se pedia: f e g diferem por uma constante.

Resposta

f(z)=g(z)+C\quad\text{para alguma constante }C\in\mathbb{C}\text{ e todo }z\in D.

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