Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisflaz a equação

Passo 1

O enunciado dá a função de produção de Cobb–Douglas
P(L,K)=b,L^alphaK^beta,
e pede para mostrar que ela satisfaz a identidade de Euler para funções homogêneas de grau alpha+beta:
L,partial Ppartial L+K,partial Ppartial K=(alpha+beta),P

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de P:
partial Ppartial L =partialpartial Ll(b,L^alphaK^betar) =b,alpha,L^alpha-1K^beta,
partial Ppartial K =partialpartial Kl(b,L^alphaK^betar) =b,beta,L^alphaK^beta-1

Passo 3

Agora formamos L,partial Ppartial L+K,partial Ppartial K:
Lpartial Ppartial L =Ll(b,alpha,L^alpha-1K^betar) =b,alpha,L^alphaK^beta,
Kpartial Ppartial K =Kl(b,beta,L^alphaK^beta-1r) =b,beta,L^alphaK^beta
Somando,
Lpartial Ppartial L+Kpartial Ppartial K =b,(alpha+beta),L^alphaK^beta =(alpha+beta),P

Resposta

Dessa forma mostramos que
L,partial Ppartial L+K,partial Ppartial K=(alpha+beta),P

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