Exercício 9. Derive as seguintes funções
f(x)=sen(sen(sen(2 x^2)))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sinl(sinl(sin(2x^2)r)r)
Aqui vamos usar a regra da cadeia e as derivadas básicas ddxsin(u)=cos(u),u' e ddx(2x^2)=4x.

Passo 2

Defina a função intermediária
h(x)=sinl(sin(2x^2)r)
Para calcular h'(x) aplicamos a cadeia duas vezes: primeiro em sin(u) com u=sin(2x^2), depois em sin(2x^2). Temos
ddxsin(2x^2)=cos(2x^2)cdot 4x,
e em seguida
h'(x)=cosl(sin(2x^2)r),l[cos(2x^2)cdot 4xr]

Passo 3

Agora f(x)=sinl(h(x)r). Aplicando a regra da cadeia mais uma vez:
f'(x)=cosl(h(x)r),h'(x) =cosl(sin(sin(2x^2))r),l[cos(sin(2x^2)),cos(2x^2)cdot4xr]
Reagrupando os fatores,
f'(x)=4x;cos(2x^2);cosl(sin(2x^2)r);cosl(sin(sin(2x^2))r)

Resposta

f'(x)=4x;cos(2x^2);cosl(sin(2x^2)r);cosl(sin(sin(2x^2))r)

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