Considere um material magnético submetido a um campo magnético externo, de tal forma que o campo vetorial magnetização resultante seja igual a M=x^3 y^4 z^5 ay A / m. Suponha, ainda, que o volume deste material magnético seja um cubo, de aresta igual a 3 m , com faces nos planos x=0, x=3 m, y=0, y=3 m, z=0 e z=3 m. Determine: a) a corrente volumétrica de magnetização e b) a corrente superficial de magnetização.

Passo 1

O enunciado dá a magnetização
M=x^3y^4z^5,ay A/m preenchendo um cubo de aresta 3 m definido por 0<= x,y,z<=3.
Pede-se a densidade de corrente volumétrica de magnetização Jm e a densidade de corrente superficial de magnetização Km.
Usaremos as fórmulas
Jm=nablatimesM,
Km=Mtimesn,
onde n é o vetor normal externo à face considerada.

Passo 2

Aplicamos a definição de rotor em coordenadas cartesianas. Como M=(0,My,0) com My=x^3y^4z^5,
nablatimesM = ax & ay & az partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 0 & x^3y^4z^5 & 0

Passo 3

Calculando o determinante, só aparecem componentes em ax e az:
Jm =axl(0-partialpartial z(x^3y^4z^5)r) +azl(partialpartial x(x^3y^4z^5)-0r)
Fazendo as derivadas,
Jm =-5x^3y^4z^4,ax +3x^2y^4z^5,az (A/m^2)

Passo 4

Para a corrente superficial usamos
Km=Mtimesn
As normais externas às faces do cubo são pmax em x=0,3, pmay em y=0,3 e pmaz em z=0,3.
Como Mparal<=lay, em y=0 e y=3 Km=0. Nas faces x=const e z=const calculamos abaixo.

Passo 5

– Em x=0: n=-ax e My(0,y,z)=0, logo Km=0.
– Em x=3: n=ax e My=3^3y^4z^5, então
Km =Mtimesax =-3^3y^4z^5,az =-27,y^4z^5,az (A/m)
– Em z=0: n=-az e My(x,y,0)=0, logo Km=0.
– Em z=3: n=az e My=x^3y^43^5, então
Km =Mtimesaz =3^5x^3y^4,ax =243,x^3y^4,ax (A/m)

Resposta

Jm=-5x^3y^4z^4,ax+3x^2y^4z^5,az A/ m^2
A densidade superficial de magnetização é
Km=-27,y^4z^5,az na face x=3,
Km=243,x^3y^4,ax na face z=3,
e Km=0 em todas as demais faces.

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