Mostre que as funções abaixo não são analíticas em nenhum ponto.
f(z)=\frac{z}{z \cdot \bar{z}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=\frac{z}{z\cdot\bar{z}}
não é analítica em nenhum ponto. Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão z\cdot\bar{z} é o mesmo que |z|^{2}.
  • Portanto a função pode ser escrita de forma mais simples quando z\neq0.
  • Note que em z=0 o denominador é zero, então f não está definida em z=0.
  • A tarefa é provar que não existe ponto (nem em \mathbb{C}\setminus\{0\}) onde f seja analítica.

Passo 2

Simplifico a expressão para ver claramente o que temos, tomando z\neq0:
f(z)=\frac{z}{z\bar{z}}=\frac{1}{\bar{z}}.
Logo o domínio natural de f é \mathbb{C}\setminus\{0\} e, para todos esses pontos, f(z)=1/\bar{z}.

Passo 3

Vou lembrar a ferramenta que usaremos para testar analisabilidade (de forma bem prática): escrevemos f em termos das partes real e imaginária e aplicamos as equações de Cauchy–Riemann. Passos rápidos sobre isso:
  • Seja z=x+iy. Uma função f escrita como f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) é (localmente) holomorfa apenas se as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existirem, forem contínuas numa vizinhança e satisfizerem as equações de Cauchy–Riemann
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
  • Se mostrarmos que essas igualdades não ocorrem em nenhum ponto do domínio de f, concluímos que f não é analítica em nenhum ponto.

Passo 4

Escrevo f em coordenadas reais. Para z=x+iy temos \bar{z}=x-iy, então
f(z)=\frac{1}{\bar{z}}=\frac{1}{x-iy}.
Racionalizando o denominador:
\frac{1}{x-iy}=\frac{x+iy}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto as partes real e imaginária são
u(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\qquad v(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
definidas para (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Calculo as derivadas parciais necessárias. Denote D=x^{2}+y^{2} (para economizar escrita), então u=\dfrac{x}{D} e v=\dfrac{y}{D}.
Derivo u em relação a x usando a regra do quociente:
u_x=\frac{1\cdot D - x\cdot 2x}{D^{2}}=\frac{D-2x^{2}}{D^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}}.
Derivo u em relação a y:
u_y=\frac{0\cdot D - x\cdot 2y}{D^{2}}=\frac{-2xy}{D^{2}}.
Derivo v em relação a x:
v_x=\frac{0\cdot D - y\cdot 2x}{D^{2}}=\frac{-2xy}{D^{2}}.
Derivo v em relação a y:
v_y=\frac{1\cdot D - y\cdot 2y}{D^{2}}=\frac{D-2y^{2}}{D^{2}}=\frac{x^{2}-y^{2}}{D^{2}}.

Passo 6

Agora aplico as equações de Cauchy–Riemann. Primeiro comparo u_x e v_y:
u_x-v_y=\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}}-\frac{x^{2}-y^{2}}{D^{2}}=\frac{2(y^{2}-x^{2})}{D^{2}}.
Para que u_x=v_y precisamos de y^{2}-x^{2}=0, ou seja
y^{2}=x^{2}\quad\Longrightarrow\quad |y|=|x|.
Agora a segunda equação u_y=-v_x. Com os valores obtidos:
u_y+v_x=\frac{-2xy}{D^{2}}+\frac{-2xy}{D^{2}}=\frac{-4xy}{D^{2}}.
Para que u_y=-v_x precisamos de xy=0.
Juntando as duas condições necessárias simultaneamente:
  • de y^{2}=x^{2} e xy=0 segue que necessariamente x=0 e y=0.
  • Ou seja, as equações de Cauchy–Riemann só poderiam ser satisfeitas (possivelmente) em (x,y)=(0,0).

Passo 7

Mas (x,y)=(0,0) corresponde a z=0, e lembramos que f não está definida em z=0. Portanto não existe ponto no domínio \mathbb{C}\setminus\{0\} onde as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Conclusão: f não é holomorfa (analítica) em nenhum ponto do seu domínio.
Observação curta e intuitiva: a função é f(z)=1/\bar z, que depende explicitamente de \bar z. Dependências não-triviais em \bar z costumam produzir funções anti-holomorfas, não holomorfas — aqui isso se confirma com as contas.

Resposta

A função não é analítica em nenhum ponto: para z\neq0 as equações de Cauchy–Riemann falham em todos os pontos e em z=0 a função não está definida.

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