Mostre que as funções abaixo não são analíticas em nenhum ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum ponto. Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão
é o mesmo que . - Portanto a função pode ser escrita de forma mais simples quando
. - Note que em
o denominador é zero, então não está definida em . - A tarefa é provar que não existe ponto (nem em
) onde seja analítica.
Passo 2
Simplifico a expressão para ver claramente o que temos, tomando
:
Logo o domínio natural de
é
e, para todos esses pontos,
.
Passo 3
Vou lembrar a ferramenta que usaremos para testar analisabilidade (de forma bem prática): escrevemos
em termos das partes real e imaginária e aplicamos as equações de Cauchy–Riemann. Passos rápidos sobre isso:
- Seja
. Uma função escrita como é (localmente) holomorfa apenas se as derivadas parciais existirem, forem contínuas numa vizinhança e satisfizerem as equações de Cauchy–Riemann
- Se mostrarmos que essas igualdades não ocorrem em nenhum ponto do domínio de
, concluímos que não é analítica em nenhum ponto.
Passo 4
Escrevo
em coordenadas reais. Para
temos
, então
Racionalizando o denominador:
Portanto as partes real e imaginária são
definidas para
.
Passo 5
Calculo as derivadas parciais necessárias. Denote
(para economizar escrita), então
e
.
Derivo
em relação a
usando a regra do quociente:
Derivo
em relação a
:
Derivo
em relação a
:
Derivo
em relação a
:
Passo 6
Agora aplico as equações de Cauchy–Riemann. Primeiro comparo
e
:
Para que
precisamos de
, ou seja
Agora a segunda equação
. Com os valores obtidos:
Para que
precisamos de
.
Juntando as duas condições necessárias simultaneamente:
- de
e segue que necessariamente e . - Ou seja, as equações de Cauchy–Riemann só poderiam ser satisfeitas (possivelmente) em
.
Passo 7
Mas
corresponde a
, e lembramos que
não está definida em
. Portanto não existe ponto no domínio
onde as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Conclusão:
não é holomorfa (analítica) em nenhum ponto do seu domínio.
Observação curta e intuitiva: a função é
, que depende explicitamente de
. Dependências não-triviais em
costumam produzir funções anti-holomorfas, não holomorfas — aqui isso se confirma com as contas.
Resposta
A função não é analítica em nenhum ponto: para
as equações de Cauchy–Riemann falham em todos os pontos e em
a função não está definida.