Calcule as derivadas das funções abaixo usando a definição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Informações dadas e observações imediatas:
está escrita como uma fração racional; o denominador não pode ser zero, portanto
, ou seja
. A derivada será calculada em pontos
do domínio, isto é para
.
Passo 2
A definição de derivada que vamos usar é a seguinte:
Explicando essa fórmula:
é o ponto onde queremos a derivada (a “abscissa”),
é um pequeno incremento em
. A expressão
é o quociente das diferenças (o “coeficiente angular” aproximado da reta secante), e a derivada
é o limite desse quociente quando
tende a zero (isto dá a inclinação da reta tangente). Sempre que aplicarmos essa definição, precisamos manipular algebraicamente a diferença de frações e então fazer
.
Passo 3
Calcule
. Substituímos
por
na expressão de
:
Aqui usei a expansão do quadrado:
.
Passo 4
Monte o quociente de diferença:
Vamos colocar as duas frações sobre um denominador comum e simplificar o numerador. O numerador da grande fração é
Agora expandimos cada produto separadamente.
Expansão do primeiro produto:
Expansão do segundo produto:
Subtraindo (primeiro menos segundo) cancelam
e
, sobrando:
Logo o numerador completo da grande fração é
. O denominador comum (antes de dividir por
) é
. Assim
Passo 5
Fatoramos
no numerador para cancelar com o
do denominador:
Cancelando
(válido para
, e depois tomamos o limite
):
Agora aplicamos o limite
. Como
tende para
quando
, obtemos
Note que aqui usamos que o denominador no limite é diferente de zero porque já exigimos
.
Passo 6
Podemos deixar a resposta um pouco mais factorizada para ficar elegante:
Você fez certinho até aqui — a técnica é sempre escrever
, juntar as frações, fatorar
e então fazer o limite. Com prática vira automático!