Calcule as derivadas das funções abaixo usando a definição:
f(z)=\frac{z^{2}}{4 z+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(z)=\frac{z^{2}}{4z+1}
usando a definição de derivada. Informações dadas e observações imediatas: f está escrita como uma fração racional; o denominador não pode ser zero, portanto 4z+1\neq0, ou seja z\neq -\tfrac{1}{4}. A derivada será calculada em pontos z do domínio, isto é para z\neq -\tfrac{1}{4}.

Passo 2

A definição de derivada que vamos usar é a seguinte:
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.
Explicando essa fórmula: z é o ponto onde queremos a derivada (a “abscissa”), h é um pequeno incremento em z. A expressão \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} é o quociente das diferenças (o “coeficiente angular” aproximado da reta secante), e a derivada f'(z) é o limite desse quociente quando h tende a zero (isto dá a inclinação da reta tangente). Sempre que aplicarmos essa definição, precisamos manipular algebraicamente a diferença de frações e então fazer h\to0.

Passo 3

Calcule f(z+h). Substituímos z por z+h na expressão de f:
f(z+h)=\frac{(z+h)^{2}}{4(z+h)+1}=\frac{z^{2}+2zh+h^{2}}{4z+4h+1}.
Aqui usei a expansão do quadrado: (z+h)^{2}=z^{2}+2zh+h^{2}.

Passo 4

Monte o quociente de diferença:
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{\dfrac{z^{2}+2zh+h^{2}}{4z+4h+1}-\dfrac{z^{2}}{4z+1}}{h}.
Vamos colocar as duas frações sobre um denominador comum e simplificar o numerador. O numerador da grande fração é
\bigl(z^{2}+2zh+h^{2}\bigr)(4z+1)-z^{2}(4z+4h+1).
Agora expandimos cada produto separadamente.
Expansão do primeiro produto:
(z^{2}+2zh+h^{2})(4z+1)=4z^{3}+z^{2}+8z^{2}h+2zh+4z h^{2}+h^{2}.
Expansão do segundo produto:
z^{2}(4z+4h+1)=4z^{3}+4z^{2}h+z^{2}.
Subtraindo (primeiro menos segundo) cancelam 4z^{3} e z^{2}, sobrando:
(8z^{2}h-4z^{2}h)+2zh+4z h^{2}+h^{2}=4z^{2}h+2zh+4z h^{2}+h^{2}.
Logo o numerador completo da grande fração é 4z^{2}h+2zh+4z h^{2}+h^{2}. O denominador comum (antes de dividir por h) é (4z+4h+1)(4z+1). Assim
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{4z^{2}h+2zh+4z h^{2}+h^{2}}{h(4z+4h+1)(4z+1)}.

Passo 5

Fatoramos h no numerador para cancelar com o h do denominador:
4z^{2}h+2zh+4z h^{2}+h^{2}=h\bigl(4z^{2}+2z+4z h+h\bigr).
Cancelando h (válido para h\neq0, e depois tomamos o limite h\to0):
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{4z^{2}+2z+4z h+h}{(4z+4h+1)(4z+1)}.
Agora aplicamos o limite h\to0. Como (4z+4h+1) tende para (4z+1) quando h\to0, obtemos
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{4z^{2}+2z+4z h+h}{(4z+4h+1)(4z+1)}=\frac{4z^{2}+2z}{(4z+1)^{2}}.
Note que aqui usamos que o denominador no limite é diferente de zero porque já exigimos z\neq -\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Podemos deixar a resposta um pouco mais factorizada para ficar elegante:
f'(z)=\frac{2z(2z+1)}{(4z+1)^{2}},\qquad z\neq -\tfrac{1}{4}.
Você fez certinho até aqui — a técnica é sempre escrever f(z+h), juntar as frações, fatorar h e então fazer o limite. Com prática vira automático!

Resposta

f'(z)=\frac{2z(2z+1)}{(4z+1)^{2}},\qquad z\neq -\tfrac{1}{4}

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