Calcule as derivadas das funções abaixo usando a definição:
f(z)=1-z^{2}+4 i z^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada, usando a definição, da função complexa
f(z)=1-z^{2}+4 i z^{5}.
Informações relevantes que temos: a função é um polinômio em z; devemos usar a definição do quociente diferencial (limite) para obter f'(z). Não há outras restrições ou dados ocultos no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a definição de derivada que vamos usar: a derivada de f em z é o limite
f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},
onde h é um número complexo que tende a 0. Essa é a mesma definição de derivada do cálculo real, só que aqui z e h podem ser complexos. A ideia é expandir f(z+h), subtrair f(z), dividir por h e ver o que sobra quando h\to 0.

Passo 3

Aplicamos a definição à nossa função. Primeiro escrevemos o quociente de diferença:
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{\bigl(1-(z+h)^{2}+4 i (z+h)^{5}\bigr)-\bigl(1-z^{2}+4 i z^{5}\bigr)}{h}.
Agora simplificamos cancelando os termos iguais 1 e -z^{2} com +z^{2} onde for o caso. Vamos expandir os termos que dependem de h.

Passo 4

Expandimos (z+h)^{2} e (z+h)^{5} usando o teorema binomial (ou desenvolvendo): as fórmulas são
(z+h)^{2}=z^{2}+2zh+h^{2},
(z+h)^{5}=z^{5}+5z^{4}h+10z^{3}h^{2}+10z^{2}h^{3}+5zh^{4}+h^{5}.
Substituindo essas expansões no numerador obtemos
f(z+h)-f(z)= -\bigl(z^{2}+2zh+h^{2}\bigr)+z^{2}+4i\bigl(5z^{4}h+10z^{3}h^{2}+10z^{2}h^{3}+5zh^{4}+h^{5}\bigr).

Passo 5

Agora simplificamos o numerador termo a termo: os z^{2} se cancelam. Ficamos com
f(z+h)-f(z) = -2zh - h^{2} + 4i\bigl(5z^{4}h+10z^{3}h^{2}+10z^{2}h^{3}+5zh^{4}+h^{5}\bigr).
Dividindo tudo por h (lembrando que h\neq 0 no quociente, e o limite cuida do h\to 0) obtemos o quociente de diferença:
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = -2z - h + 4i\bigl(5z^{4}+10z^{3}h+10z^{2}h^{2}+5zh^{3}+h^{4}\bigr).
Podemos distribuir o 4i no parêntese:
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = -2z - h + 20i z^{4} + 40i z^{3}h + 40i z^{2}h^{2} + 20i z h^{3} + 4i h^{4}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Todos os termos que têm um fator h (ou potências superiores) vão para 0. Portanto, ao calcular
f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},
os termos que somam com h,\,h^{2},\,h^{3},\,h^{4} desaparecem, sobrando apenas os termos independentes de h:
f'(z) = -2z + 20i z^{4}.
Explicação intuitiva: a contribuição de ordem mais alta em h tende a zero no limite; por isso, para polinômios o que sobra é a soma das derivadas termo a termo.

Passo 7

Comentário didático extra (útil para a prova): esse cálculo também mostra a regra geral para potências inteiras positivas: derivando z^{n} pela definição chega-se em
\frac{(z+h)^{n}-z^{n}}{h}=n z^{\,n-1}+\text{termos com }h,
logo \lim_{h\to0} n z^{\,n-1}. E usando linearidade da derivada (a derivada de soma é soma das derivadas e constantes multiplicativas saem como fator), obtemos rapidamente derivadas de polinômios sem necessidade de expandir tudo em provas longas.

Resposta

f'(z)=-2z+20i z^{4}

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