Calcule as derivadas das funções abaixo usando a definição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada, usando a definição, da função complexa
Informações relevantes que temos: a função é um polinômio em
; devemos usar a definição do quociente diferencial (limite) para obter
. Não há outras restrições ou dados ocultos no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a definição de derivada que vamos usar: a derivada de
em
é o limite
onde
é um número complexo que tende a
. Essa é a mesma definição de derivada do cálculo real, só que aqui
e
podem ser complexos. A ideia é expandir
, subtrair
, dividir por
e ver o que sobra quando
.
Passo 3
Aplicamos a definição à nossa função. Primeiro escrevemos o quociente de diferença:
Agora simplificamos cancelando os termos iguais
e
com
onde for o caso. Vamos expandir os termos que dependem de
.
Passo 4
Expandimos
e
usando o teorema binomial (ou desenvolvendo): as fórmulas são
Substituindo essas expansões no numerador obtemos
Passo 5
Agora simplificamos o numerador termo a termo: os
se cancelam. Ficamos com
Dividindo tudo por
(lembrando que
no quociente, e o limite cuida do
) obtemos o quociente de diferença:
Podemos distribuir o
no parêntese:
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Todos os termos que têm um fator
(ou potências superiores) vão para
. Portanto, ao calcular
os termos que somam com
desaparecem, sobrando apenas os termos independentes de
:
Explicação intuitiva: a contribuição de ordem mais alta em
tende a zero no limite; por isso, para polinômios o que sobra é a soma das derivadas termo a termo.
Passo 7
Comentário didático extra (útil para a prova): esse cálculo também mostra a regra geral para potências inteiras positivas: derivando
pela definição chega-se em
logo
dá
. E usando linearidade da derivada (a derivada de soma é soma das derivadas e constantes multiplicativas saem como fator), obtemos rapidamente derivadas de polinômios sem necessidade de expandir tudo em provas longas.