Mostre que as funções f(x)=\cos (2 x) e g(t)=e^{x} são linearmente independentes no espaço das funções delimida em \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as duas funções
f(x) = \cos(2x), \quad g(x) = e^x
definidas em \mathbb{R} são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear em espaços de funções, que diz que apenas a combinação trivial deve anular-se identicamente.
Passo 2
Definição de independência linear: duas funções f e g são independentes se, sempre que existirem constantes c_1 e c_2 tais que
c_1\,f(x) + c_2\,g(x) = 0
para todo x\in\mathbb{R}, então obrigatoriamente c_1 = 0 e c_2 = 0.
Passo 3
Suponha que existam c_1,c_2\in\mathbb{R} com
c_1\cos(2x) + c_2 e^x = 0
para todo x. Queremos mostrar que essa hipótese implica c_1=c_2=0.
Passo 4
Avalie a combinação em x=0. Temos \cos(0)=1 e e^0=1, então