Mostre que as funções f(x)=\cos (2 x) e g(t)=e^{x} são linearmente independentes no espaço das funções delimida em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas funções
f(x) = \cos(2x), \quad g(x) = e^x
definidas em \mathbb{R} são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear em espaços de funções, que diz que apenas a combinação trivial deve anular-se identicamente.

Passo 2

Definição de independência linear: duas funções f e g são independentes se, sempre que existirem constantes c_1 e c_2 tais que
c_1\,f(x) + c_2\,g(x) = 0
para todo x\in\mathbb{R}, então obrigatoriamente c_1 = 0 e c_2 = 0.

Passo 3

Suponha que existam c_1,c_2\in\mathbb{R} com
c_1\cos(2x) + c_2 e^x = 0
para todo x. Queremos mostrar que essa hipótese implica c_1=c_2=0.

Passo 4

Avalie a combinação em x=0. Temos \cos(0)=1 e e^0=1, então
c_1\cdot 1 + c_2\cdot 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_1 + c_2 = 0.

Passo 5

Agora avalie em x = \tfrac{\pi}{2}. Então \cos(2\cdot \tfrac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1 e e^{\pi/2} é não nulo, logo
c_1\cdot(-1) + c_2\,e^{\pi/2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,c_1 + c_2\,e^{\pi/2} = 0.

Passo 6

Do sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = 0,\\\\ -\,c_1 + c_2\,e^{\pi/2} = 0, \end{cases}
da primeira equação c_1 = -c_2. Substituindo na segunda,
-(-c_2) + c_2\,e^{\pi/2} = c_2\bigl(1 + e^{\pi/2}\bigr) = 0.
Como 1 + e^{\pi/2}\neq 0, segue c_2 = 0 e, portanto, c_1 = 0.

Passo 7

Concluímos que a única combinação linear que anula f e g é a trivial. Isso é justamente a definição de independência linear.

Resposta

As funções f(x)=\cos(2x) e g(x)=e^x são linearmente independentes em \mathbb{R}.

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