Mostre que as matrizes abaixo são linearmente independentes:
\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A_1 = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad A_3 = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
e pede para mostrar que elas são linearmente independentes no espaço de todas as matrizes 2\times2. O conteúdo usado é o de independência linear: vamos supor uma combinação linear que dê a matriz zero e mostrar que os coeficientes têm de ser todos zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a\,A_1 \;+\; b\,A_2 \;+\; c\,A_3 \;=\; \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Em forma explícita,
a\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \;+\; b\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \;+\; c\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Comparando entrada a entrada com a matriz zero, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ a + 0\cdot b + c = 0,\\\\ 0\cdot a + 0\cdot b + c = 0,\\\\ 0\cdot a + b + c = 0. \end{cases}
Ou, de modo simplificado,
\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ a + c = 0,\\\ c = 0,\\\ b + c = 0. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação segue \,c=0. Substituindo em \,a+c=0 vem \,a=0. Finalmente, em a+b+c=0 surge \,b=0.

Passo 5

A única solução para (a,b,c) é (0,0,0). Isso significa que não há combinação linear não-trivial que anule A_1,A_2,A_3.

Resposta

A única solução é a=b=c=0, logo as matrizes são linearmente independentes.

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