Mostre que as funçŏes ue
verificam as equaçōes de Cattchy-Riemann
e
.
u(x, y)=\cos x \operatorname{cosh} y+\operatorname{sen} x \operatorname{senh} y;\n(v(x ; y)=\cos x \operatorname{cosh} y-\operatorname{sen} x \operatorname{senh} y)
u(x, y)=\cos x \operatorname{cosh} y+\operatorname{sen} x \operatorname{senh} y;\n(v(x ; y)=\cos x \operatorname{cosh} y-\operatorname{sen} x \operatorname{senh} y)
Passo 1
O enunciado dá as funções reais de duas variáveis
e pede para mostrar que elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Lista de informações relevantes: as expressões de
e
acima são tudo o que precisamos;
e
são variáveis independentes.
Passo 2
Lembrete rápido sobre derivadas parciais e derivadas elementares que vou usar:
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar tratam‑se como constante. - Derivada parcial em relação a
: ao derivar tratam‑se como constante. - Derivadas elementares (em relação à sua variável):
Vou aplicar estas regras termo a termo nas funções
e
.
Passo 3
Calcular
. Diferenciando termo a termo e tratando
e
como constantes:
Usando
e
obtemos
Posso escrever de forma rearranjada:
Passo 4
Calcular
. Diferenciando termo a termo e tratando
e
como constantes:
Usando
e
obtemos
Comparando com o resultado de
do Passo 3 vemos que
Passo 5
Calcular
. Diferenciando termo a termo e tratando
e
como constantes:
Passo 6
Calcular
. Diferenciando termo a termo e tratando
e
como constantes:
Multiplicando por
obtemos
que é exatamente o valor de
do Passo 5. Portanto
Passo 7
Concluímos que as duas igualdades de Cauchy–Riemann são satisfeitas simultaneamente: