Mostre que as funçŏes ue v verificam as equaçōes de Cattchy-Riemann u_{x}=v_{y} e u_{y}=-v_{x}.
u(x, y)=\cos x \operatorname{cosh} y+\operatorname{sen} x \operatorname{senh} y;\n(v(x ; y)=\cos x \operatorname{cosh} y-\operatorname{sen} x \operatorname{senh} y)

Passo 1

O enunciado dá as funções reais de duas variáveis
u(x,y)=\cos x\;\operatorname{cosh} y+\sin x\;\operatorname{sinh} y
v(x,y)=\cos x\;\operatorname{cosh} y-\sin x\;\operatorname{sinh} y
e pede para mostrar que elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Lista de informações relevantes: as expressões de u e v acima são tudo o que precisamos; x e y são variáveis independentes.

Passo 2

Lembrete rápido sobre derivadas parciais e derivadas elementares que vou usar:
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar \frac{\partial}{\partial x} tratam‑se y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y: ao derivar \frac{\partial}{\partial y} tratam‑se x como constante.
  • Derivadas elementares (em relação à sua variável): \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x,
\frac{d}{dy}\operatorname{cosh} y = \operatorname{sinh} y,\qquad \frac{d}{dy}\operatorname{sinh} y = \operatorname{cosh} y.
Vou aplicar estas regras termo a termo nas funções u e v.

Passo 3

Calcular \displaystyle u_x=\frac{\partial u}{\partial x}. Diferenciando termo a termo e tratando \operatorname{cosh} y e \operatorname{sinh} y como constantes:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\;\operatorname{cosh} y\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin x\;\operatorname{sinh} y\big).
Usando \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \frac{d}{dx}\sin x=\cos x obtemos
u_x = (-\sin x)\operatorname{cosh} y + (\cos x)\operatorname{sinh} y.
Posso escrever de forma rearranjada:
u_x = \cos x\;\operatorname{sinh} y - \sin x\;\operatorname{cosh} y.

Passo 4

Calcular \displaystyle v_y=\frac{\partial v}{\partial y}. Diferenciando termo a termo e tratando \cos x e \sin x como constantes:
v_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\;\operatorname{cosh} y\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin x\;\operatorname{sinh} y\big).
Usando \frac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y e \frac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y obtemos
v_y = \cos x\;\operatorname{sinh} y - \sin x\;\operatorname{cosh} y.
Comparando com o resultado de u_x do Passo 3 vemos que
u_x = v_y.

Passo 5

Calcular \displaystyle u_y=\frac{\partial u}{\partial y}. Diferenciando termo a termo e tratando \cos x e \sin x como constantes:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\;\operatorname{cosh} y\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin x\;\operatorname{sinh} y\big)
u_y = \cos x\;\operatorname{sinh} y + \sin x\;\operatorname{cosh} y.

Passo 6

Calcular \displaystyle v_x=\frac{\partial v}{\partial x}. Diferenciando termo a termo e tratando \operatorname{cosh} y e \operatorname{sinh} y como constantes:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\;\operatorname{cosh} y\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin x\;\operatorname{sinh} y\big)
v_x = (-\sin x)\operatorname{cosh} y - (\cos x)\operatorname{sinh} y
v_x = -\sin x\;\operatorname{cosh} y - \cos x\;\operatorname{sinh} y.
Multiplicando por -1 obtemos
-\,v_x = \sin x\;\operatorname{cosh} y + \cos x\;\operatorname{sinh} y,
que é exatamente o valor de u_y do Passo 5. Portanto
u_y = -\,v_x.

Passo 7

Concluímos que as duas igualdades de Cauchy–Riemann são satisfeitas simultaneamente:
u_x = v_y\quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.

Resposta

u_x = v_y
u_y = -v_x

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