Uma função f de x e y é harmônica se
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
em todo o dominio de f. Prove que a função dada é inarmônica.
f(x, y)=e^{-x} \cos y+e^{-y} \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{-x}\cos y+e^{-y}\cos x
e pede para provar que ela é inarmônica. As informações relevantes são:
  • A definição: uma função f é harmônica quando
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
em todo o domínio de f.
  • O que temos: a expressão explícita de f(x,y) acima.
    O objetivo prático será calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f e somá‑las para verificar se a soma é zero.

Passo 2

Antes de derivar, lembrando regras básicas que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Derivada de e^{u} em relação à variável que aparece em u: se u=t então \dfrac{d}{dt}e^{u}=u' e^{u}. No caso específico, \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
  • Derivada de funções trigonométricas: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • Ao calcular derivada parcial em relação a x, tratamos y como constante (e vice‑versa).
  • Produto com fator constante: se uma parcela é g(y)\cdot h(x) e derivamos em relação a x, g(y) é constante e sai do operador derivada.
Com isso claro, vamos calcular passo a passo \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
A função é a soma de duas parcelas; derivamos parcela a parcela:
  • Para e^{-x}\cos y: \cos y é constante em relação a x, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-x}\cos y\big)=\cos y\cdot\frac{d}{dx}e^{-x}=\cos y\cdot(-e^{-x})=-e^{-x}\cos y.
  • Para e^{-y}\cos x: e^{-y} é constante em relação a x, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-y}\cos x\big)=e^{-y}\cdot\frac{d}{dx}\cos x=e^{-y}\cdot(-\sin x)=-e^{-y}\sin x.
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}=-e^{-x}\cos y - e^{-y}\sin x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} derivando o resultado anterior em relação a x.
Derivando termo a termo:
  • Para -e^{-x}\cos y: \cos y é constante, e \dfrac{d}{dx}(-e^{-x})= -\dfrac{d}{dx}e^{-x}= -(-e^{-x})=e^{-x}. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{-x}\cos y\big)=e^{-x}\cos y.
  • Para -e^{-y}\sin x: e^{-y} é constante, e \dfrac{d}{dx}(-\sin x)=-\cos x. Assim
\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{-y}\sin x\big)=-e^{-y}\cos x.
Somando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=e^{-x}\cos y - e^{-y}\cos x.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Mesmo procedimento, agora tratando x como constante:
  • Para e^{-x}\cos y: e^{-x} é constante, e \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-x}\cos y\big)=-e^{-x}\sin y.
  • Para e^{-y}\cos x: \cos x é constante, e \dfrac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y}. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-y}\cos x\big)=\cos x\cdot(-e^{-y})=-e^{-y}\cos x.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=-e^{-x}\sin y - e^{-y}\cos x.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} derivando o resultado anterior em relação a y.
Derivando termo a termo:
  • Para -e^{-x}\sin y: e^{-x} é constante e \dfrac{d}{dy}(-\sin y)=-\cos y. Então
\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-x}\sin y\big)=-e^{-x}\cos y.
  • Para -e^{-y}\cos x: \cos x é constante e \dfrac{d}{dy}(-e^{-y})= -(-e^{-y})=e^{-y}. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-y}\cos x\big)=e^{-y}\cos x.
Somando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-e^{-x}\cos y + e^{-y}\cos x.

Passo 7

Somar as derivadas de segunda ordem para verificar a condição de harmonicidade:
\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} &=\big(e^{-x}\cos y - e^{-y}\cos x\big)+\big(-e^{-x}\cos y + e^{-y}\cos x\big)\\[4pt] &=0. \end{aligned}
As duas parcelas se cancelam exatamente para todos os pares (x,y) do domínio.]

Passo 8

Interpretação e conclusão didática: a soma das derivadas parciais de segunda ordem (o laplaciano) é identicamente zero em todo o domínio. Isso significa que f satisfaz a condição de harmonicidade em todo o domínio. Portanto a afirmação inicial de que a função é inarmônica é incorreta: na verdade a função é harmônica.

Resposta

A função é harmônica; logo não é inarmônica.

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