Uma função
de
e
é harmônica se
em todo o dominio de
. Prove que a função dada é inarmônica.
f(x, y)=e^{-x} \cos y+e^{-y} \cos x
f(x, y)=e^{-x} \cos y+e^{-y} \cos x
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para provar que ela é inarmônica. As informações relevantes são:
- A definição: uma função
é harmônica quando
em todo o domínio de
.
- O que temos: a expressão explícita de
acima.
O objetivo prático será calcular as derivadas parciais de segunda ordem dee somá‑las para verificar se a soma é zero.
Passo 2
Antes de derivar, lembrando regras básicas que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Derivada de
em relação à variável que aparece em : se então . No caso específico, . - Derivada de funções trigonométricas:
, . - Ao calcular derivada parcial em relação a
, tratamos como constante (e vice‑versa). - Produto com fator constante: se uma parcela é
e derivamos em relação a , é constante e sai do operador derivada.
Com isso claro, vamos calcular passo a passo
,
,
e
.
Passo 3
Calcular
.
A função é a soma de duas parcelas; derivamos parcela a parcela:
- Para
: é constante em relação a , então
- Para
: é constante em relação a , então
Somando as contribuições:
Passo 4
Calcular
derivando o resultado anterior em relação a
.
Derivando termo a termo:
- Para
: é constante, e . Logo
- Para
: é constante, e . Assim
Somando:
Passo 5
Calcular
.
Mesmo procedimento, agora tratando
como constante:
- Para
: é constante, e . Logo
- Para
: é constante, e . Logo
Somando:
Passo 6
Calcular
derivando o resultado anterior em relação a
.
Derivando termo a termo:
- Para
: é constante e . Então
- Para
: é constante e . Logo
Somando:
Passo 7
Somar as derivadas de segunda ordem para verificar a condição de harmonicidade:
As duas parcelas se cancelam exatamente para todos os pares
do domínio.]
Passo 8
Interpretação e conclusão didática: a soma das derivadas parciais de segunda ordem (o laplaciano) é identicamente zero em todo o domínio. Isso significa que
satisfaz a condição de harmonicidade em todo o domínio. Portanto a afirmação inicial de que a função é inarmônica é incorreta: na verdade a função é harmônica.
Resposta
A função é harmônica; logo não é inarmônica.