Mostre que vsatisfaz a equação da onda
v=(x-a t)^{4}+\cos (x+a t)
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação da onda
Informações dadas:
- A função dependente é
. - A constante
é dada (não precisa ser especificada).
O que se pede: - Calcular as segundas derivadas parciais
e e verificar que são relacionadas por .
Passo 2
Lembrete rápido e ferramenta principal (cadeia e derivada parcial).
- Derivada parcial em relação a
significa: tratar como constante e derivar normalmente em relação a . - Derivada parcial em relação a
significa: tratar como constante e derivar em relação a . - Regra da cadeia (caso simples): se
e , então
Aplicação às partes da função:
- Para a parte
usar com e . - Para a parte
usar com e , e a derivada de é .
Passo 3
Calcular as primeiras derivadas parciais passo a passo.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Usando a regra da cadeia para a primeira parcela: derivada de
é
e
. Para a segunda parcela: derivada de
é
e
. Logo
Derivando em relação a
:
Para a primeira parcela: derivada de
é
e
. Para a segunda parcela: derivada de
é
e
. Assim
Passo 4
Calcular as segundas derivadas parciais, novamente com cadeia.
Derivada segunda em relação a :
Derivar em relação a
. Para
: derivada é
. Para
: derivada é
. Portanto
Derivada segunda em relação a
Derivar
Derivada segunda em relação a
:
Derivar em relação a
. Para
: derivada em
é
. Como
, isso dá
. Para
: derivada em
é
. Assim
Derivar
Passo 5
Comparando as expressões encontradas:
e
. Observa-se que a segunda é exatamente
vezes a primeira. Portanto as duas parcelas coincidem na razão pedida, o que significa que a função dada satisfaz a equação da onda.