Mostre que vsatisfaz a equação da onda
\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}
v=(x-a t)^{4}+\cos (x+a t)

Passo 1

O enunciado fornece a função v(x,t) = (x - a t)^{4} + \cos(x + a t) e pede para mostrar que ela satisfaz a equação da onda
\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função dependente é v(x,t).
  • A constante a é dada (não precisa ser especificada).
    O que se pede:
  • Calcular as segundas derivadas parciais \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} e \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} e verificar que são relacionadas por \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}.

Passo 2

Lembrete rápido e ferramenta principal (cadeia e derivada parcial).
  • Derivada parcial em relação a x significa: tratar t como constante e derivar normalmente em relação a x.
  • Derivada parcial em relação a t significa: tratar x como constante e derivar em relação a t.
  • Regra da cadeia (caso simples): se w(s)=s^{4} e s=s(x,t), então
\frac{\partial}{\partial x} w(s(x,t)) = w'(s(x,t))\cdot\frac{\partial s}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial t} w(s(x,t)) = w'(s(x,t))\cdot\frac{\partial s}{\partial t}.
Aplicação às partes da função:
  • Para a parte (x-at)^{4} usar s=x-at com \frac{\partial s}{\partial x}=1 e \frac{\partial s}{\partial t}=-a.
  • Para a parte \cos(x+at) usar r=x+at com \frac{\partial r}{\partial x}=1 e \frac{\partial r}{\partial t}=a, e a derivada de \cos é -\sin.

Passo 3

Calcular as primeiras derivadas parciais passo a passo.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x-at)^{4}+\frac{\partial}{\partial x}\cos(x+at).
Usando a regra da cadeia para a primeira parcela: derivada de (\cdot)^{4} é 4(\cdot)^{3} e \frac{\partial}{\partial x}(x-at)=1. Para a segunda parcela: derivada de \cos é -\sin e \frac{\partial}{\partial x}(x+at)=1. Logo
\frac{\partial v}{\partial x}=4(x-at)^{3}-\sin(x+at).
Derivando em relação a t:
\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(x-at)^{4}+\frac{\partial}{\partial t}\cos(x+at).
Para a primeira parcela: derivada de (\cdot)^{4} é 4(\cdot)^{3} e \frac{\partial}{\partial t}(x-at)=-a. Para a segunda parcela: derivada de \cos é -\sin e \frac{\partial}{\partial t}(x+at)=a. Assim
\frac{\partial v}{\partial t}=-4a(x-at)^{3}-a\sin(x+at).

Passo 4

Calcular as segundas derivadas parciais, novamente com cadeia.
Derivada segunda em relação a x:
Derivar \frac{\partial v}{\partial x}=4(x-at)^{3}-\sin(x+at) em relação a x. Para 4(x-at)^{3}: derivada é 12(x-at)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-at)=12(x-at)^{2}. Para -\sin(x+at): derivada é -\cos(x+at)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+at)=-\cos(x+at). Portanto
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}=12(x-at)^{2}-\cos(x+at).
Derivada segunda em relação a t:
Derivar \frac{\partial v}{\partial t}=-4a(x-at)^{3}-a\sin(x+at) em relação a t. Para -4a(x-at)^{3}: derivada em t é -4a\cdot 3(x-at)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial t}(x-at). Como \frac{\partial}{\partial t}(x-at)=-a, isso dá -4a\cdot 3(x-at)^{2}\cdot(-a)=12a^{2}(x-at)^{2}. Para -a\sin(x+at): derivada em t é -a\cos(x+at)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(x+at)=-a\cos(x+at)\cdot a=-a^{2}\cos(x+at). Assim
\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=12a^{2}(x-at)^{2}-a^{2}\cos(x+at).

Passo 5

Comparando as expressões encontradas: \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}=12(x-at)^{2}-\cos(x+at) e \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=12a^{2}(x-at)^{2}-a^{2}\cos(x+at). Observa-se que a segunda é exatamente a^{2} vezes a primeira. Portanto as duas parcelas coincidem na razão pedida, o que significa que a função dada satisfaz a equação da onda.

Resposta

\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}

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