Mostre que as funções
e
são soluções da correspondente equação homogênea, e encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e fornece duas funções
Pede-se:
- Mostrar que
e são soluções da equação homogênea correspondente; - Encontrar uma solução particular da equação não-homogênea.
Informações relevantes dadas:
- A equação homogênea correspondente é
. - O domínio é
(importante porque vamos usar se necessário). - As funções a verificar são
e .
Passo 2
Verificar que
satisfaz a homogênea.
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea
:
Como a combinação dá
, concluímos que
é solução da homogênea.
Passo 3
Verificar que
satisfaz a homogênea.
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na homogênea:
Portanto
também é solução da homogênea.
Passo 4
Explicação didática (por que essas funções aparecem): esta equação é do tipo Euler–Cauchy (equações com coeficientes potenciais em
). Para a homogênea costuma-se tentar uma solução da forma
. Substituindo
em
obtém-se a equação característica em
:
Resolvendo:
Isso justifica por que as soluções fundamentais da homogênea são
e
, i.e.
e
.
Passo 5
Escolha do método para a solução particular: o termo à direita é
, combinação de potências
e
. Para equações de Euler, quando o termo não-homogêneo contém
e
coincide com uma raiz
da equação caracterísica, há ressonância e devemos multiplicar a tentativa por
. Aqui
corresponde a
(que é uma raiz simples), logo para a parte
precisamos tentar uma solução do tipo
. Para a parte constante
(i.e.
), como
não é raiz, podemos tentar apenas uma constante. Assim proponho a ansatz:
onde
e
são constantes a determinar. (Observação: não incluí termo puro
porque
já é solução homogênea.)
Passo 6
Calcular derivadas de
e substituir.
Primeiro, derive
.
Derivada primeira:
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Agora substitua em
:
Organize os termos:
Note que
cancela, sobrando
Essa expressão deve igualar o lado direito da equação original
. Igualando coeficientes de potências independentes:
Passo 7
Conclusão da construção: com
e
obtemos uma solução particular válida:
(Supondo
para
estar definida.)
Opcional (para contexto): a solução geral da equação não-homogênea seria
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
Uma solução particular da equação não-homogênea é