Mostre que as funções y_{1} e y_{2} são soluções da correspondente equação homogênea, e encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=3 x^{2}-1, x>0 ; y_{1}(x)=x^{2}, y_{2}(x)=x^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-2y=3x^{2}-1,\qquad x>0,
e fornece duas funções
y_{1}(x)=x^{2},\qquad y_{2}(x)=x^{-1}.
Pede-se:
  • Mostrar que y_{1} e y_{2} são soluções da equação homogênea correspondente;
  • Encontrar uma solução particular da equação não-homogênea.
Informações relevantes dadas:
  • A equação homogênea correspondente é \;x^{2}y''-2y=0.
  • O domínio é x>0 (importante porque vamos usar \ln x se necessário).
  • As funções a verificar são y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{-1}.

Passo 2

Verificar que y_{1}(x)=x^{2} satisfaz a homogênea.
Calcule as derivadas de y_{1}:
y_{1}'(x)=2x,\qquad y_{1}''(x)=2.
Substituindo na equação homogênea \;x^{2}y''-2y=0:
x^{2}\cdot y_{1}''-2y_{1}=x^{2}\cdot 2-2\cdot x^{2}=2x^{2}-2x^{2}=0.
Como a combinação dá 0, concluímos que y_{1} é solução da homogênea.

Passo 3

Verificar que y_{2}(x)=x^{-1} satisfaz a homogênea.
Calcule as derivadas de y_{2}:
y_{2}'(x)=-x^{-2},\qquad y_{2}''(x)=2x^{-3}.
Substituindo na homogênea:
x^{2}\cdot y_{2}''-2y_{2}=x^{2}\cdot 2x^{-3}-2\cdot x^{-1}=2x^{-1}-2x^{-1}=0.
Portanto y_{2} também é solução da homogênea.

Passo 4

Explicação didática (por que essas funções aparecem): esta equação é do tipo Euler–Cauchy (equações com coeficientes potenciais em x). Para a homogênea costuma-se tentar uma solução da forma y=x^{r}. Substituindo y=x^{r} em x^{2}y''-2y=0 obtém-se a equação característica em r:
r(r-1)-2=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-r-2=0.
Resolvendo:
(r-2)(r+1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=2,\; r=-1.
Isso justifica por que as soluções fundamentais da homogênea são x^{2} e x^{-1}, i.e. y_{1} e y_{2}.

Passo 5

Escolha do método para a solução particular: o termo à direita é 3x^{2}-1, combinação de potências x^{2} e x^{0}. Para equações de Euler, quando o termo não-homogêneo contém x^{m} e m coincide com uma raiz r da equação caracterísica, há ressonância e devemos multiplicar a tentativa por \ln x. Aqui x^{2} corresponde a r=2 (que é uma raiz simples), logo para a parte 3x^{2} precisamos tentar uma solução do tipo x^{2}\ln x. Para a parte constante -1 (i.e. x^{0}), como r=0 não é raiz, podemos tentar apenas uma constante. Assim proponho a ansatz:
y_{p}(x)=A\,x^{2}\ln x + B,
onde A e B são constantes a determinar. (Observação: não incluí termo puro C x^{2} porque x^{2} já é solução homogênea.)

Passo 6

Calcular derivadas de y_{p} e substituir.
Primeiro, derive y_{p}=A x^{2}\ln x + B.
Derivada primeira:
y_{p}'=A\big(2x\ln x + x\big)=A(2x\ln x + x).
Derivada segunda:
y_{p}''=A\big(2\ln x + 3\big).
Agora substitua em x^{2}y''-2y:
x^{2}y_{p}''-2y_{p}=x^{2}\cdot A(2\ln x+3)-2\big(Ax^{2}\ln x + B\big).
Organize os termos:
x^{2}y_{p}''-2y_{p}=A x^{2}(2\ln x+3)-2A x^{2}\ln x -2B.
Note que A x^{2}(2\ln x)-2A x^{2}\ln x cancela, sobrando
x^{2}y_{p}''-2y_{p}=3A x^{2}-2B.
Essa expressão deve igualar o lado direito da equação original 3x^{2}-1. Igualando coeficientes de potências independentes:
3A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=1,
-2B = -1 \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Conclusão da construção: com A=1 e B=\tfrac{1}{2} obtemos uma solução particular válida:
y_{p}(x)=x^{2}\ln x + \tfrac{1}{2}.
(Supondo x>0 para \ln x estar definida.)
Opcional (para contexto): a solução geral da equação não-homogênea seria
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}+x^{2}\ln x + \tfrac{1}{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{-1} são soluções da equação homogênea x^{2}y''-2y=0.\n
Uma solução particular da equação não-homogênea é \;y_{p}(x)=x^{2}\ln x+\dfrac{1}{2}.

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