Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+4 y=2 \cos \operatorname{sec} (2 x), 0<x<\frac{\pi}{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo isso foi tirado do enunciado que você mandou).
  • A equação diferencial dada é
y''+4y=2\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr), \qquad 0<x<\frac{\pi}{2}.
  • O enunciado pede a solução geral y(x) dessa equação no intervalo indicado.
Observações úteis que já extraí do enunciado:
  • O termo de forçamento (lado direito) é 2\cos(\operatorname{sec}(2x)). Tomei isso como \;2\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr), ou seja, o cosseno da função \operatorname{sec}(2x).
  • O intervalo 0<x<\pi/2 garante que \operatorname{sec}(2x) está bem definido e positivo (pois \cos(2x)\neq0 nesse intervalo aberto), então não há problemas com domínio onde a forçante seria indefinida.
Agora que ficou claro o que é pedido e quais dados temos, começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y''+4y=0.
  • Método: escrever a equação característica. Para uma equação linear de coeficientes constantes da forma y''+4y=0 a equação característica é
r^2 + 4 = 0.
  • Resolver a característica: r^2=-4 então r=\pm 2i.
  • Raízes complexas conjugadas r=\pm 2i implicam solução homogênea da forma
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicando devagar: o modo padrão para raízes a\pm bi é e^{ax}(\tilde C_1\cos(bx)+\tilde C_2\sin(bx)). Aqui a=0 e b=2, por isso apareceu \cos(2x) e \sin(2x).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y''+4y=2\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr).
  • Escolha do método: variação de parâmetros é a estratégia adequada quando a forçante é uma função qualquer g(x) que não se enquadra em formas simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos com frequência compatível com a homogênea, etc.). Aqui g(x)=2\cos(\operatorname{sec}(2x)) é bastante complicada, então variação de parâmetros nos dá uma expressão exata para y_p em termos de integrais, que é o que se costuma aceitar numa prova quando a integral não tem antiderivada elementar.
  • Relembrando a fórmula de variação de parâmetros (num estilo prático):
    • seja y_1(x)=\cos(2x) e y_2(x)=\sin(2x) uma base de soluções da homogênea (o que já temos);
    • defina o wronskiano
    W(x)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[4pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
    • As funções auxiliares u_1'(x) e u_2'(x) satisfazem
    u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},com g(x)=2\cos(\operatorname{sec}(2x)). Depois integra-se para obter u_1,u_2 (constantes adicionadas podem ser absorvidas em y_h) e a solução particular é y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).]

Passo 4

Calcular o Wronskiano e as derivadas necessárias passo a passo.
  • As derivadas: y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_1'(x)=-2\sin(2x),
y_2(x)=\sin(2x),\qquad y_2'(x)=2\cos(2x).
  • O Wronskiano fica W(x)=y_1y_2'-y_1'y_2=\cos(2x)\cdot 2\cos(2x)-(-2\sin(2x))\cdot\sin(2x).Simplificando usando \cos^2+\sin^2=1, W(x)=2\bigl(\cos^2(2x)+\sin^2(2x)\bigr)=2.Nota prática: o Wronskiano é a constante 2 — ótimo, simplifica as fórmulas.

Passo 5

Aplicar as fórmulas de variação de parâmetros com W=2 e g(x)=2\cos(\operatorname{sec}(2x)).
  • Calcular u_1'(x) e u_2'(x): u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)}=-\frac{\sin(2x)\cdot 2\cos(\operatorname{sec}(2x))}{2}=-\sin(2x)\cos(\operatorname{sec}(2x)),
u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)}=\frac{\cos(2x)\cdot 2\cos(\operatorname{sec}(2x))}{2}=\cos(2x)\cos(\operatorname{sec}(2x)).
  • Integrando para obter u_1,u_2 (colocando constantes de integração que depois ficam absorvidas em C_1,C_2): u_1(x)=-\int \sin(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx,
u_2(x)=\int \cos(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx.
Explicação didática: essas integrais em geral não têm primitiva em termos de funções elementares conhecidas — a composição \cos(\operatorname{sec}(2x)) é bastante oscilatória e não se reduz a algo que a técnica da substituição simples resolva. Numa prova é aceitável (e esperado) apresentar a solução particular em forma de integrais definidas ou indefinidas quando a primitiva não é elementar.

Passo 6

Montar a solução particular com os u_1,u_2 obtidos.
  • Pela fórmula da variação de parâmetros:
    y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x).
    Substituindo y_1,y_2,u_1,u_2,
    y_p(x)=-\cos(2x)\int \sin(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx +\sin(2x)\int \cos(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx.
  • Observação prática sobre constantes de integração: se preferir dar uma forma com integrais definidas (isso evita ficar com constantes dentro dos integrandos), escolha um ponto base x_0\in(0,\pi/2) e defina
    U_1(x)=-\int_{x_0}^{x} \sin(2t)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2t)\bigr)\,dt, \qquad U_2(x)=\int_{x_0}^{x} \cos(2t)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2t)\bigr)\,dt.
    Então uma particular válida é
    y_p(x)=-\cos(2x)\,U_1(x)+\sin(2x)\,U_2(x).
    Qualquer constante que surgisse nas integrais indefinidas fica incorporada em C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x) da parte homogênea.

Passo 7

Juntar solução homogênea e particular para obter a solução geral.
  • A solução geral é y(x)=y_h(x)+y_p(x).Substituindo as expressões que calculamos, y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x) -\cos(2x)\int \sin(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx +\sin(2x)\int \cos(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx,onde as integrais podem ser tomadas como indefinidas (constantes absorvidas em C_1,C_2) ou, para maior rigor, como integrais definidas desde um ponto de referência x_0\in(0,\pi/2).
Pequeno incentivo: tá tudo certo até aqui — a parte algébrica da variação de parâmetros é direta; o único “aperto” é que as integrais envolvendo \cos(\operatorname{sec}(2x)) não têm primitiva elementar, então o resultado em forma integral é a forma correta e aceitável da solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)-\cos(2x)\displaystyle\int \sin(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx+\sin(2x)\displaystyle\int \cos(2x)\cos\bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)\,dx

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