Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}+y=2 \operatorname{sec} \left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4y''+y=2\operatorname{sec}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não homogêneo é 2\operatorname{sec}\!\left(\dfrac{x}{2}\right), que tem singularidades onde \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=0; a solução será válida em intervalos onde \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\neq0.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão dividindo por 4:
y''+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Isso facilita o uso dos métodos com a forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=g(x) (aqui P(x)=0, Q(x)=1/4, g(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}(x/2)).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada
y''+\frac{1}{4}y=0.
Formular a equação característica:
r^{2}+\frac{1}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm\frac{i}{2}.
Portanto as soluções fundamentais reais são
y_{1}(x)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right),\qquad y_{2}(x)=\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).
A solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)+C_{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolher o método para obter uma solução particular. O termo \operatorname{sec}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) não é uma combinação simples de funções tipo polinômio, exponencial, seno ou cosseno que permitam aplicar o método dos coeficientes a determinar facilmente. Então o método mais apropriado é o das variações de parâmetros.
Explicando a ideia (sem jargões): variarmos as constantes C_{1},C_{2} da solução homogênea, considerando C_{1}=u_{1}(x) e C_{2}=u_{2}(x), e impor condições para achar u_{1} e u_{2} que gerem uma solução particular.

Passo 5

Fórmulas de variação de parâmetros (para a forma y''+Q(x)y=g(x) com P(x)=0): se y_{1},y_{2} são soluções fundamentais e W é o wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2},
então
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Aqui g(x)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
Calcular o wronskiano com y_{1}=\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e y_{2}=\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right):
y_{1}'=-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right),\qquad y_{2}'=\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right),
W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} =\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cdot\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)-\big(-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big)\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right) =\tfrac{1}{2}\big(\cos^{2}\!\tfrac{x}{2}+\sin^{2}\!\tfrac{x}{2}\big)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Usar as fórmulas para u_{1}' e u_{2}'. Substituindo g, y_{1}, y_{2} e W:
u_{1}'(x)=-\frac{\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cdot\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\tfrac{1}{2}} =-\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=-\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right),
u_{2}'(x)=\frac{\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cdot\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\tfrac{1}{2}} =\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=1.
Aqui houve uma simplificação direta: \operatorname{sec}\cdot\sin=\tan e \operatorname{sec}\cdot\cos=1.

Passo 7

Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Para u_{2}:
u_{2}(x)=\int 1\,dx = x + C.
Na construção de uma solução particular podemos escolher C=0 (qualquer constante adicionada aqui apenas modifica a parte homogênea). Então tomamos u_{2}(x)=x.
Para u_{1}:
u_{1}(x)=\int -\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\,dx.
Fazer a substituição t=\dfrac{x}{2}, dx=2\,dt:
u_{1}(x)=\int -\tan t \cdot 2\,dt = -2\int \tan t\,dt.
Lembrando que \int \tan t\,dt=-\ln\!\big|\cos t\big|+{\rm const}, obtemos
u_{1}(x)=-2\big(-\ln\!\big|\cos t\big|\big)=2\ln\!\big|\cos t\big| + C.
Voltando a x e escolhendo C=0 para absorver na homogênea:
u_{1}(x)=2\ln\!\big|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big|.

Passo 8

Construir a solução particular pela combinação y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(x)=\big(2\ln\!\big|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big|\big)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Podemos escrever de forma mais direta:
y_{p}(x)=2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\ln\!\big|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big|+x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\ln\!\big|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big|+x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right),
válida em intervalos onde \cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\neq0. Parabéns por chegar até aqui — a parte mais trabalhosa foi escolher variação de parâmetros e integrar com a substituição t=\tfrac{x}{2}.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\ln\!\big|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big|+x\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)

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