É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea.
O termo não homogêneo é 2\operatorname{sec}\!\left(\dfrac{x}{2}\right), que tem singularidades onde \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=0; a solução será válida em intervalos onde \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\neq0.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão dividindo por 4:
Escolher o método para obter uma solução particular. O termo \operatorname{sec}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) não é uma combinação simples de funções tipo polinômio, exponencial, seno ou cosseno que permitam aplicar o método dos coeficientes a determinar facilmente. Então o método mais apropriado é o das variações de parâmetros.
Explicando a ideia (sem jargões): variarmos as constantes C_{1},C_{2} da solução homogênea, considerando C_{1}=u_{1}(x) e C_{2}=u_{2}(x), e impor condições para achar u_{1} e u_{2} que gerem uma solução particular.
Passo 5
Fórmulas de variação de parâmetros (para a forma y''+Q(x)y=g(x) com P(x)=0): se y_{1},y_{2} são soluções fundamentais e W é o wronskiano
Aqui houve uma simplificação direta: \operatorname{sec}\cdot\sin=\tan e \operatorname{sec}\cdot\cos=1.
Passo 7
Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Para u_{2}:
u_{2}(x)=\int 1\,dx = x + C.
Na construção de uma solução particular podemos escolher C=0 (qualquer constante adicionada aqui apenas modifica a parte homogênea). Então tomamos u_{2}(x)=x.
válida em intervalos onde \cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\neq0. Parabéns por chegar até aqui — a parte mais trabalhosa foi escolher variação de parâmetros e integrar com a substituição t=\tfrac{x}{2}.